力扣–目标和
一、题目描述
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
}
};
二、分析
方法一:枚举
class Solution {
public:
//保存结果
int count = 0;
//start代表当前在nums的下标索引
//sum代表当前+/-运算之后的结果
//target代表目标结果
void dp(vector<int>& nums, int start, int sum, int target)
{
//遍历完数组并且sum和target相等才++count
if(start == nums.size())
{
if(target == sum)
{
count++;
}
return ;
}
//+
dp(nums,start + 1,sum + nums[start],target);
//-
dp(nums,start + 1,sum - nums[start],target);
}
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S)
{
if(nums.empty())
{
return 0;
}
dp(nums, 0, 0, S);
return count;
}
};
方法二:回溯【超时】
- 任何算法的核心都是穷举,回溯算法就是一个暴力穷举算法,回溯算法框架:
def backtrack(路径, 选择列表):
if 满足结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择
- 关键就是搞清楚什么是「选择」,而对于这道题,「选择」不是明摆着的吗?
-
对于每个数字 nums[i],我们可以选择给一个正号 + 或者一个负号 -,然后利用回溯模板穷举出来所有可能的结果
,数一数到底有几种组合能够凑出 target 不就行了嘛? - 伪码思路如下:
def backtrack(nums, i):
if i == len(nums):
if 达到 target:
result += 1
return
for op in { +1, -1 }:
选择 op * nums[i]
# 穷举 nums[i + 1] 的选择
backtrack(nums, i + 1)
撤销选择
- 代码
int result = 0;
/* 主函数 */
int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0)
return 0;
backtrack(nums, 0, target);
return result;
}
/* 回溯算法模板 */
void backtrack(int[] nums, int i, int rest)
{
// base case
if (i == nums.length)
{
if (rest == 0)
{
// 说明恰好凑出 target
result++;
}
return;
}
// 给 nums[i] 选择 - 号
rest += nums[i];
// 穷举 nums[i + 1]
backtrack(nums, i + 1, rest);
// 撤销选择
rest -= nums[i];
// 给 nums[i] 选择 + 号
rest -= nums[i];
// 穷举 nums[i + 1]
backtrack(nums, i + 1, rest);
// 撤销选择
rest += nums[i];
}
-
有的读者可能问,选择 - 的时候,为什么是 rest += nums[i],选择 + 的时候,为什么是 rest -= nums[i] 呢,是不是写反了?
- 不是的,「
如何凑出 target」和「如何把 target 减到 0」其实是一样的。我们这里选择后者,因为前者必须给 backtrack 函数多加一个参数
,我觉得不美观:
void backtrack(int[] nums, int i, int sum, int target) {
// base case
if (i == nums.length)
{
if (sum == target)
{
result++;
}
return;
}
// ...
}
-
因此,如果我们给 nums[i] 选择 + 号,就要让 rest - nums[i],反之亦然。
- 以上回溯算法可以解决这个问题,时间复杂度为 ,N 为 nums 的大小。
- 进一步观察发现这个回溯算法就是个二叉树的遍历问题:
void backtrack(int[] nums, int i, int rest) {
if (i == nums.length)
{
return;
}
backtrack(nums, i + 1, rest - nums[i]);
backtrack(nums, i + 1, rest + nums[i]);
}
- 树的高度就是 nums 的长度嘛,所以说时间复杂度就是这棵二叉树的节点数,为 ,其实是非常低效的。
方法三:消除重叠子问题【超时】
- 动态规划之所以比暴力算法快,是
因为动态规划技巧消除了重叠子
问题。 - 如何发现重叠子问题?
看是否可能出现重复的「状态」。对于递归函数来说,函数参数中会变的参数就是「状态」,对于 backtrack 函数来说,会变的参数为 i 和 rest。
- 先抽象出递归框架:
void backtrack(int i, int rest) {
backtrack(i + 1, rest - nums[i]);
backtrack(i + 1, rest + nums[i]);
}
- 举个简单的例子,如果 nums[i] = 0,会发生什么?
void backtrack(int i, int rest) {
backtrack(i + 1, rest);
backtrack(i + 1, rest);
}
- 你看,这样就出现了两个「状态」完全相同的递归函数,无疑这样的递归计算就是重复的。
- 这就是重叠子问题,而且只要我们能够找到一个重叠子问题,那一定还存在很多的重叠子问题。
- 因此,状态 (i, rest) 是可以用备忘录技巧进行优化的:
int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0)
return 0;
return dp(nums, 0, target);
}
// 备忘录
HashMap<String, Integer> memo = new HashMap<>();
int dp(int[] nums, int i, int rest) {
// base case
if (i == nums.length)
{
if (rest == 0)
return 1;
return 0;
}
// 把它俩转成字符串才能作为哈希表的键
String key = i + "," + rest;
// 避免重复计算
if (memo.containsKey(key))
{
return memo.get(key);
}
// 还是穷举
int result = dp(nums, i + 1, rest - nums[i]) + dp(nums, i + 1, rest + nums[i]);
// 记入备忘录
memo.put(key, result);
return result;
}
- 这个解法通过备忘录消除了很多重叠子问题,效率有一定的提升,但是这就结束了吗?
方法四:动态规划
- 事情没有这么简单,先来算一算,消除重叠子问题之后,
算法的时间复杂度是多少?其实最坏情况下依然是
。 - 为什么呢?
因为我们只不过恰好发现了重叠子问题,顺手用备忘录技巧给优化了,但是底层思路没有变,依然是暴力穷举的回溯算法
,依然在遍历一棵二叉树。 - 这只能叫对回溯算法进行了「剪枝」,提升了算法在某些情况下的效率,但算不上质的飞跃。
- 其实,这个问题可以转化为一个子集划分问题,而子集划分问题又是一个典型的
背包问题
。动态规划总是这么玄学,让人摸不着头脑…… - 首先,
如果我们把 nums 划分成两个子集 A 和 B,分别代表分配 + 的数和分配 - 的数
,那么他们和 target 存在如下关系:
sum(A) - sum(B) = target
sum(A) = target + sum(B)
sum(A) + sum(A) = target + sum(B) + sum(A)
2 * sum(A) = target + sum(nums)
- 综上,可以推出 ,也就是把原问题转化成:nums 中存在几个子集A,使得 A 中元素的和为 ?
- 类似的子集划分问题我们前文 经典背包问题:子集划分 讲过,现在实现这么一个函数:
/* 计算 nums 中有几个子集的和为 sum */
int subsets(int[] nums, int sum) {}
//然后,可以这样调用这个函数:
int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int n : nums)
sum += n;
// 这两种情况,不可能存在合法的子集划分
if (sum < target || (sum + target) % 2 == 1)
{
return 0;
}
return subsets(nums, (sum + target) / 2);
}
- 好的,变成背包问题的标准形式:
- 有一个
背包,容量为 sum,现在给你 N 个物品,第 i 个物品的重量为 nums[i - 1](注意 1 <= i <= N),每个物品只有一个,请问你有几种不同的方法能够恰好装满这个背包
? - 现在,这就是一个正宗的动态规划问题了,下面按照我们一直强调的动态规划套路走流程:
-
第一步要明确两点,「状态」和「选择」
。 - 对于背包问题,这个都是一样的,
状态就是「背包的容量」和「可选择的物品」,选择就是「装进背包」或者「不装进背包
」。 -
第二步要明确 dp 数组的定义。
- 按照背包问题的套路,可以给出如下定义:
-
dp[i][j] = x 表示,若只在前 i 个物品中选择,若当前背包的容量为 j,则最多有 x 种方法可以恰好装满背包。
-
翻译成我们探讨的子集问题就是,若只在 nums 的前 i 个元素中选择,若目标和为 j,则最多有 x 种方法划分子集。
- 根据这个定义,显然
dp[0][..] = 0,因为没有物品的话,根本没办法装背包;dp[..][0] = 1,因为如果背包的最大载重为 0,
「什么都不装」就是唯一的一种装法。 - 我们所求的答案就是 dp[N][sum],即使用所有 N 个物品,有几种方法可以装满容量为 sum 的背包。
-
第三步,根据「选择」,思考状态转移的逻辑。
- 回想刚才的 dp 数组含义,可以根据「选择」对 dp[i][j] 得到以下状态转移:
-
如果不把 nums[i] 算入子集,或者说你不把这第 i 个物品装入背包,那么恰好装满背包的方法数就取决于上一个状态dp[i-1][j],继承之前的结果
。 -
如果把 nums[i] 算入子集,或者说你把这第 i 个物品装入了背包,那么只要看前 i - 1 个物品有几种方法可以装满 j -nums[i-1] 的重量就行了,所以取决于状态 dp[i-1][j-nums[i-1]]
。 - PS:注意我们说的 i 是从 1 开始算的,而数组 nums 的索引时从 0 开始算的,所以 nums[i-1] 代表的是第 i个物品的重量,j - nums[i-1] 就是背包装入物品 i 之后还剩下的容量。
- 由于 dp[i][j] 为装满背包的总方法数,所以应该以上两种选择的结果求和,得到状态转移方程:
- ;
- 然后,根据状态转移方程写出动态规划算法:
/* 计算 nums 中有几个子集的和为 sum */
int subsets(int[] nums, int sum)
{
int n = nums.length;
int[][] dp = new int[n + 1][sum + 1];
// base case
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= sum; j++)
{
if (j >= nums[i-1])
{
// 两种选择的结果之和
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]];
}
else
{
// 背包的空间不足,只能选择不装物品 i
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
return dp[n][sum];
}
- 然后,发现这个 dp[i][j] 只和前一行 dp[i-1][…] 有关,那么肯定可以优化成一维 dp:
/* 计算 nums 中有几个子集的和为 sum */
int subsets(int[] nums, int sum)
{
int n = nums.length;
int[] dp = new int[sum + 1];
// base case
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// j 要从后往前遍历
for (int j = sum; j >= 0; j--)
{
// 状态转移方程
if (j >= nums[i-1])
{
dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i-1]];
}
else
{
dp[j] = dp[j];
}
}
}
return dp[sum];
}
- 对照二维 dp,只要把 dp 数组的第一个维度全都去掉就行了,唯一的区别就是这里的 j 要从后往前遍历,原因如下:
- 因为二维压缩到一维的根本原理是, 还没被新结果覆盖的时候,相当于二维 dp 中的 。
-
那么,我们就要做到:在计算新的 dp[j] 的时候,dp[j] 和 dp[j-nums[i-1]] 还是上一轮外层 for循环的结果
。 - 如果你从前往后遍历一维 dp 数组,dp[j] 显然是没问题的,但是 dp[j-nums[i-1]] 已经不是上一轮外层 for循环的结果了,这里就会使用错误的状态,当然得不到正确的答案。
- 完整C++代码
class Solution {
public:
/* 计算 nums 中有几个子集的和为 sum */
int subsets(vector<int>& nums, int sum)
{
int n = nums.size();
vector<int> dp (sum + 1,0);
// base case
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// j 要从后往前遍历
for (int j = sum; j >= 0; j--)
{
// 状态转移方程
if (j >= nums[i-1])
{
dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i-1]];
}
else
{
dp[j] = dp[j];
}
}
}
return dp[sum];
}
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
if(nums.empty())
{
return 0;
}
int sum = 0;
for(auto e : nums)
{
sum += e;
}
if (sum < S || (sum + S) % 2 == 1)
{
return 0;
}
int target = (sum + S) / 2;
return subsets(nums, target);
}
};
- 现在,这道题算是彻底解决了。
- 总结一下,回溯算法虽好,但是复杂度高,即便消除一些冗余计算,也只是「剪枝」,没有本质的改进
- 而动态规划就比较玄学了,经过各种改造,从一个加减法问题变成子集问题,又变成背包问题,经过各种套路写出解法,又搞出状态压缩,还得反向遍历。