【题解】数的划分

题目来源：loj

题目描述

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1,1,5;
1,5,1;
5,1,1.

问有多少种不同的分法。

输入格式

n,k (6<n≤200，2≤k≤6)

输出格式

1个整数，即不同的分法。

输入输出样例

输入

7 3

输出

4

说明/提示

四种分法为：
1,1,5;
1,2,4;
1,3,3;
2,2,3.

思路

本题就是求把数字n无序划分为k份的方案数。也就是求方程x1+x2+…+xk=n,1<=x1<=x2<=…<=xk的解数。
搜索的分法是依次枚举x1,x2…xk的值，然后判断。如果这样直接搜索，程序的运行速度是非常慢的。但由于本题的数据规模比较小，如果控制好扩展结点的“上界”和“下界”，也是能够很快得出解的。
约束条件：

1. 由于分解数不考虑顺序，因此我们设定分解数依次递增，所以扩展结点时的“下界应该是不小于前一个扩展结点的值，即a[i-1]<=a[i]
2. 假设我们将n已经分解成了a[1]+a[2]+…+a[i-1]，则a[i]的最大值为将i~k这k-i+1份平均划分，即设m=n-(a[1]+a[2]+…+a[i-1])，则a[i]<=m/(k-i+1)，所以扩展结点的“上界”是m/(k-i+1)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[10],anss;
void dfs(int k)
{
    
    
	if (n==0) return; //如果已经没有数值可以分了，说明之前的分法是不合理的，直接返回 
	if (k==m) //已经分到最后一份 
	{
    
    
		if (n>=a[k-1]) anss++; //对最后一份直接进行判断，如果最后一份的值大于等于上一份的值，说明当前的分法是合理的，直接anss++ 
		return ;
	}
	for (int i=a[k-1];i<=n/(m-k+1);i++)
	{
    
    
		a[k]=i;
		n-=i; //n分出去一个i这么大的数，要减
		dfs(k+1); //分下一个数 
		n+=i; //不要忘记加回来 
	}
}
int main()
{
    
    
	scanf("%d%d",&n,&m);
	a[0]=1; //初始条件，保证接下来“i=a[k-1]”时第一个i是1 
	dfs(1);
	cout<<anss<<endl;
	return 0; 
}