【题】公钥密码

公钥密码

第1题

因此首先使用$Shanks$算法计算出$a$的值，如下：

因此明文应为：
$$d_k(y_1,y_2)=y_2(y_1^a{)}^{-1}=5\ast (2^{27}{)}^{-1}=12$$

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第2题

已知：$5^x=3,5^y=4$，求$5^{xy}$：

首先利用$Shanks$算法计算出$x$的值，如下：

然后计算$4^x=4^{20}\equiv 36(mod47)$。

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第3题

因此，计算$\phi (N)=4620$，再计算$d\equiv e^{-1}\equiv 4171(modN)$。

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所以消息2的签名为$2^{4171}\equiv 1626(modN)$。

该题需要注意的是：大整数分解算法&辗转相除求逆。

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第4题

一般方法

在椭圆曲线上计算$P(x_1，y_1)+Q(x_2,y_2)$：

首先计算$\lambda$如下：
$$\lambda =\{\begin{array}{ll}& \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},P\ne Q\\ & \frac{3x_1^2+a}{2y_1},P=Q\end{array}$$
注意当$P=Q$时该式子可以看作为导数相除。

再计算：
$$\begin{array}{rl}{x}_3& ={\lambda }^2-x_1-x_2\\ y_3& =\lambda (x_1-x_3)-y_1\end{array}$$

计算过程

先计算$2P$的值，此时$P=Q$，所以有：
$${\lambda }_1=\frac{3\ast 7^2+1}{2\ast 3}\equiv 74\ast 3^{-1}(mod19)\equiv 16(mod19)$$
所以有$2P=(x_3,y_3)=(16,3)$，再计算${\lambda }_2$，此时$P\ne Q$，因此：
$${\lambda }_2=\frac{3-3}{7-16}=0$$
所以有$3P=(x_4,y_4)=(15,16)$。