【Ybtoj 第1章 例题1】错排问题【递推】

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解题思路

首先设 $f[n]$ 表示$n$个数的满足题意的方案数。
首先，设一个k 号位置，如果我们将 n 放在k号位置 $(k\ne n)$ ，那么有 $(n-1)$ 种放法其次，我们考虑 k 的放置。

• k 放在 n 的位置：
  这样放的话剩下的无序的元素就还剩 $(n-2)$ 个，
  相当于把那$(n-2)$ 个元素错排，方案数是 $f [ n − 2 ] $.
• k 不放在n的位置:
  这样的话无序的元素就有$(n-1)$ 个，
  相当于把 $(n-1)$ 个元素错排，方案数是 $f[n-1]$ .

所以在 $(n-1)$ 的情况下就有 $f[n-1]+f[n-2]$种放法。
总方案数就是$(n-1)\times (f[n-1]+f[n-2])$ .

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

long long n,f[110];

int main(){
    
    
	scanf("%lld",&n);
	f[1]=0,f[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
	printf("%lld",f[n]);
}