数据结构 | 单调栈入门及例题

入门理解

应用

求某元素向右最远的比它小的元素位置

解题思路

单调递增栈（从栈顶到栈底单调递增）。

注意事项

$n s [n]$ 设置一个最大的数，用于最后弹出所有数。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>

using namespace std;
//#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1
#define M ((l + r) >> 1)
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 1e5 + 10;
const LL INF = 1e18;

int readint() {
    
    
    int k;
    scanf("%d", &k);
    return k;
}
int ns[maxn], r[maxn];

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    LL sum = 0;
    scanf("%d", &n);
    _for(i, 0, n) ns[i] = readint();
    ns[n] = INT_M;  //设置一个最大的数，用于最后弹出所有数
    stack<int> st;  //构造单调递增栈
    _rep(i, 0, n) {
    
    
        while (!st.empty() && ns[i] >= ns[st.top()]) {
    
    
            r[st.top()] = i;
            sum += i - st.top() - 1;
            st.pop();
        }
        st.push(i);
    }

    printf("%lld", sum);

    return 0;
}

求子序列中的最小值乘子序列的长度最大

POJ - 2559

解题思路

单调递减栈同时求出 $n s [i]$ 右边第一个比它小的元素位置 $r$ ，以及左边第一个比它小的元素位置 $l$ 。

上面两个位置选择一个进行 $+ 1$ 或 $- 1$ 操作，方便求解面积。

本题选择维护直接存 $r$ 的数组 $r [i]$ （相当于最后左右要求两边大于 $n s [i]$ 的最远端点相减后 $+ 1$ ），以及将 $l + 1$ 得到的数组 $l [i]$ ，其含义为：左边大于 $n s [i]$ 的数能延伸的最远位置~

参考代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1
#define M ((l + r) >> 1)
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 1e5 + 10;
const LL INF = 1e18;

int readint() {
    
    
    int k;
    scanf("%d", &k);
    return k;
}
int ns[maxn], r[maxn], l[maxn];

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int n;
    while (~scanf("%d", &n) && n) {
    
    
        LL ans = -1;
        memset(r, 0, sizeof(r));
        memset(l, 0, sizeof(l));
        _for(i, 0, n) ns[i] = readint();
        ns[n] = -1;  //设置一个最小的数，用于最后弹出所有数
        stack<int> st;  //构造单调递减栈
        _rep(i, 0, n) {
    
    
            while (!st.empty() && ns[i] < ns[st.top()]) {
    
    
                r[st.top()] = i;
                st.pop();
            }
            l[i] = st.size() == 0 ? 0 : st.top() + 1;
            st.push(i);
        }
        _for(i, 0, n) {
    
    
            if (r[i] == 0) r[i] = n;
            ans = max(ans, 1LL * (r[i] - l[i]) * ns[i]);
        }
        printf("%lld\n", ans);

    }
    return 0;
}

上面一题的拓展：POJ 3494

解题思路

先进行预处理，每一行的某个元素赋值为紧邻的连续 $1$ 的个数，再对每一行做上面的单调递减栈操作即可。

注意事项

1.用stack会超时，用数组模拟过了。

int st[maxn];

int t = 0;
_rep(i, 0, m) {
    
    
    while (t && a[i] < a[st[t - 1]]) {
    
    
        r[st[t - 1]] = i;
        t--;
    }
    l[i] = t == 0 ? 0 : st[t - 1] + 1;
    st[t++] = i;
}

后来发现是因为处理每一行都开了一个 stack …

不要重复开很多个，写在里面循环会TLE。

代码（TLE）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1
#define M ((l + r) >> 1)
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int maxn = 2010;
const LL INF = 1e18;

int readint() {
    
    
    int k; scanf("%d", &k); return k;
}

int ns[maxn], r[maxn], l[maxn];

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int n, m;
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
    
    
        LL ans = 0;
        memset(ns, 0, sizeof(ns));
        ns[m] = -1;  //保证最后能把所有元素弹出
        _for(j, 0, n) {
    
    
            _for(i, 0, m) ns[i] = readint() ? ns[i] + 1 : 0;
            memset(r, 0, sizeof(r));
            memset(l, 0, sizeof(l));
            stack<int> st;  //构造单调递减栈
            _rep(i, 0, m) {
    
    
                while (!st.empty() && ns[i] <= ns[st.top()]) {
    
      //这里用<=，否则TLE？
                    r[st.top()] = i;
                    st.pop();
                }
                l[i] = st.empty() ? 0 : st.top() + 1;
                st.push(i);
            }
            _for(i, 0, m) {
    
    
                ans = max(ans, 1LL * (r[i] - l[i]) * ns[i]);
            }
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

参考代码（使用stack）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1
#define M ((l + r) >> 1)
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 2010;
const LL INF = 1e18;

int readint() {
    
    
    int k;
    scanf("%d", &k);
    return k;
}
int ns[maxn], a[maxn], r[maxn], l[maxn];

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int n, m;
    stack<int> st;  //构造单调递减栈，注意不要重复开很多个，写在里面循环会TLE
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
    
    
        LL ans = 0;
        memset(ns, 0, sizeof(ns));
        a[m] = -1;
        _for(j, 0, n) {
    
    
            while (!st.empty()) st.pop();
            _for(i, 0, m) {
    
    
                int k = readint();
                if (k) ns[i] = ns[i] + 1;
                else ns[i] = 0;
                a[i] = ns[i];
            }
            memset(r, 0, sizeof(r));
            memset(l, 0, sizeof(l));
            _rep(i, 0, m) {
    
    
                while (!st.empty() && a[i] < a[st.top()]) {
    
    
                    r[st.top()] = i;
                    st.pop();
                }
                l[i] = st.empty() ? 0 : st.top() + 1;
                st.push(i);
            }
            _for(i, 0, m) {
    
    
                if (r[i] == 0) r[i] = m;
                ans = max(ans, 1LL * (r[i] - l[i]) * ns[i]);
            }
        }
        printf("%lld\n", ans);

    }
    return 0;
}

求每种长度子序列中的最大值的最小值

数据分析

解题思路

对数 $a s [i]$ ，求其是某个子序列的最大值的这个子序列长度。

即要求向右、向左走比 $a s [i]$ 小的数延伸的最远距离，那么就采取类似上面的思想，求 $r [i]$ 和 $l [i]$ （只不过这里是单调递增栈），然后去维护每个子序列长度对应的最大值，每次都取最小值。

注意事项

1.最后记得对结果处理一下，可能有的长度没有值，那么就继承比其长的长度的值。

参考代码

#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
const int maxn = 1e5 + 10;
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
int r[maxn], l[maxn], ans[maxn];
class Solution {
    
    
public:
    /**
     * 找到所有长度子数组中最大值的最小值
     * @param numbers int整型vector 牛牛给出的数据
     * @return int整型vector
     */

    vector<int> getMinimums(vector<int>& as) {
    
    
        // write code here
        vector<int> ans_vec;
        int n = as.size();
        memset(r, 0, sizeof(r));
        memset(l, 0, sizeof(l));
        as.push_back(INT_M);  //设置一个最大的数，用于最后弹出所有数
        stack<int> st;  //构造单调递减栈
        _rep(i, 0, n) {
    
    
            while (!st.empty() && as[i] >= as[st.top()]) {
    
    
                r[st.top()] = i;
                st.pop();
            }
            l[i] = st.size() == 0 ? 0 : st.top() + 1;
            st.push(i);
        }
        int len;
        fill(ans, ans + maxn, INT_M);
        _for(i, 0, n) {
    
    
            len = r[i] - l[i];
            ans[len] = min(ans[len], as[i]);
        }
        for(int i = n; i >= 2; --i) {
    
    
            ans[i - 1] = min(ans[i - 1], ans[i]);
        }
        _rep(i, 1, n) ans_vec.push_back(ans[i]);
        return ans_vec;
    }
};

子序列中的最小值乘以子序列所有元素和最大

POJ 2796

注意事项

1.数组开 $long\ long$ ！！！！！

2.前缀和的维护，如计算从 $i$ 到 $j$ 的和，即计算 $p r e [j] - p r e [i - 1]$ 。 $p r e [0] = 0$ 方便处理。

3.本代码中相当于 $j = r [m] + 1 - 1$ ， $i = l [m] + 1 - 1$ 。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
#define LOCAL  //提交的时候一定注释
#define _for(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); ++i)
#define _rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define pb push_back
#define VI vector<int>
#define mp make_pair
#define lowbit(x) ((x) & (-x))
#define ls rt << 1
#define rs rt << 1
#define M ((l + r) >> 1)
const int INT_M = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef double db;
const db eps = 1e-8;  //定义浮点数误差
const int maxn = 1e5 + 10;
const LL INF = 1e18;

int readint() {
    
    
    int k; scanf("%d", &k); return k;
}

int ns[maxn], r[maxn], l[maxn];
LL pre[maxn];  //前缀和数组

int main() {
    
    
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int m;
    scanf("%d", &m);
    LL ans = -1;
    memset(ns, 0, sizeof(ns));
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    ns[m] = -1;  //保证最后能把所有元素弹出
    pre[0] = 0;
    _for(i, 0, m) {
    
    
        ns[i] = readint();
        pre[i + 1] = pre[i] + ns[i];
    }
    memset(r, 0, sizeof(r));
    memset(l, 0, sizeof(l));
    stack<int> st;  //构造单调递减栈
    _rep(i, 0, m) {
    
    
        while (!st.empty() && ns[i] < ns[st.top()]) {
    
      //这里用<=，否则TLE？
            r[st.top()] = i;
            st.pop();
        }
        l[i] = st.empty() ? 0 : st.top() + 1;
        st.push(i);
    }
    int ln = 1, rn = 1;
    LL tmp;
    _for(i, 0, m) {
    
    
        r[i] = r[i] ? r[i] : m;
        tmp = 1LL * (pre[r[i]] - pre[l[i]]) * ns[i];  //这里注意下标的处理
        if (tmp > ans) {
    
    ans = tmp; ln = l[i] + 1; rn = r[i];}
    }
    printf("%lld\n", ans);
    if (!ans) ln = rn = 1;
    printf("%d %d", ln, rn);
    return 0;
}