《计算机控制系统设计--按离散系统设计方法》总结

一、根轨迹法

1. 核心思想

  （1） 将时域动态指标 超调量σ、上升时间tr 及 峰值时间ts转换为z域指标阻尼比ξ、自然频率wn 及 -ξwn ；
  （2）利用z域指标结合 设计样板图 绘制出特殊区域；
  （3）设计D(z) ，使得 完整系统 的根轨迹经过该特殊区域即可。( 根轨迹方程(1+D(z)G(z) ， 注意G(z)为广义被控对象，即 G(z) = ZOH*Go(z) )

2. 指标转换

  由自动控制原理I知识可以知道，某些高阶系统，可以近似为二阶系统：

  对于典型二阶系统：

  经过一系列推导可以得到指标转换关系：

3. 绘制设计样板图

  设计样板图 绘制在 z平面，包含 等阻尼比ξ螺旋线、等自然频率wn线 及以 r = e^-ξwn为半径的圆周曲线：

4. 绘制根轨迹的原则

（1）预备知识

  对于如下典型系统方框图：

  其闭环传递函数为：

  其开环传递函数的零极点形式如下：

  上式中 Kg 称为 根轨迹增益，通常所述的 开环增益K 为：

  特别注意，上式不计零值极点，零点个数为0时分子记为1。

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（2）根轨迹的幅值条件和相角条件

  幅值条件：

  幅角条件：

（3）根轨迹绘制原则

  （i) 起点和终点
    起于极点，终于零点。
  （ii) 分支数
    等于开环极点数。
  （iii) 对称性
    关于复平面实轴对称。
  （iv) 渐近线
    渐近线方程：

    渐近线与实轴交点：

    渐近线与实轴夹角：

  （v) 实轴上的根轨迹
      当根轨迹增益Kg为正数时，实轴上的点若在根轨迹上，则其右方实轴上的开环零点数和极点数的和必为奇数。

  （vi) 实轴上的分离点和汇合点

  （vii) 复平面上的出射角和入射角
     根轨迹趋于开环零点-p1的出射角：

     根轨迹趋于开环零点-z1的入射角：

5. 设计数字控制器D(z)

（i) 明确D(z)通式

（ii) 离散系统稳态误差

（iii) 设计D(z)

   以例题进行叙述较为直观：

   以下为解题过程：

二、频率法

  本课程不讲解，故不作讨论。

三、解析法

A.最小拍设计

1.基本思想

  核心思想：将期望的闭环系统行为预先确定下来，用公式表示出来， 再通过代数解法，求出控制器的传递函数。通常理想的系统为无纹波、无稳态误差的最少拍系统。

  对于如下系统：

  其闭环特征传递函数H(z)：

  得数字控制器传递函数D(z)：

  从上式可以看出 D(z)的解析法设计主要需要考虑H(z)和1-H(z)的形式 。

2.设计原则

（1）D(z)的物理可实现性

  所谓物理可实现性，即要求系统为因果系统。体现在：

要求 H(z)的分母阶数-分子阶数>=G(z)的分母阶数-分子阶数

（2）系统稳定性

H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的零点
1-H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的极点

（3）最少拍系统

  H(z)应为z^-1的多项式，即

（4）对特定输入无稳态误差

  1-H(z)应具有如下形式：

   其中K为输入信号的型别：

（5）无纹波

H(z)应包含G(z)的分子多项式

3.例题

  如下所示：

  （0) 离散化广义被控对象G(s)

  （i) D(z)的物理可实现性
    由式可知，D(z)只要求分母阶次>=分子阶次即可。

  （ii) 系统稳定性
    H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的零点：

    1-H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的极点：

  （iii) 最少拍系统
    H(z)应为z^-1的多项式，即

  （iv）对特定信号稳态误差为零
    由于输入信号为斜坡信号，因此有：

  （v）无纹波
    H(z)应包含G(z)的分子多项式。故有：

    且余项(F₀(z) / z^k)也为最少拍形式，故取K = 1，得：

  （vi）综合求解
    由（ii)（iii)（v)，得 H(z) ：

    观察可知 F₂(z) = z^-1F₀(z) / z^k，得：

    由上式，得 1-H(z)：

    由（ii)（iv)，得 1-H(z) 形式：

    为使使H(z)和1-H(z) 中 z^-1的最高阶次相等，取：

    故：

    对比两蓝色区域所示部分，应有：

    比较系数，解方程组：

    带入H(z)和1-H(z):

    得D(z):

    进而得计算机控制式:

B.大林算法（纯滞后对象的控制设计）