《计算机控制系统设计--按离散系统设计方法》总结

一、根轨迹法

1. 核心思想

  （1） 将时域动态指标 超调量σ、上升时间tr 及 峰值时间ts转换为z域指标阻尼比ξ、自然频率wn 及 -ξwn ；
  （2）利用z域指标结合 设计样板图 绘制出特殊区域；
  （3）设计D(z) ，使得 完整系统 的根轨迹经过该特殊区域即可。( 根轨迹方程(1+D(z)G(z) ， 注意G(z)为广义被控对象，即 G(z) = ZOH*Go(z) )

2. 指标转换

  由自动控制原理I知识可以知道，某些高阶系统，可以近似为二阶系统：

  对于典型二阶系统：

  经过一系列推导可以得到指标转换关系：

3. 绘制设计样板图

  设计样板图 绘制在 z平面，包含 等阻尼比ξ螺旋线、等自然频率wn线 及以 r = e^-ξwn为半径的圆周曲线：

4. 绘制根轨迹的原则

（1）预备知识

  对于如下典型系统方框图：

  其闭环传递函数为：

  其开环传递函数的零极点形式如下：

  上式中 Kg 称为 根轨迹增益，通常所述的 开环增益K 为：

  特别注意，上式不计零值极点，零点个数为0时分子记为1。

（2）根轨迹的幅值条件和相角条件

  幅值条件：

  幅角条件：

（3）根轨迹绘制原则

  （i) 起点和终点
    起于极点，终于零点。
  （ii) 分支数
    等于开环极点数。
  （iii) 对称性
    关于复平面实轴对称。
  （iv) 渐近线
    渐近线方程：

    渐近线与实轴交点：

    渐近线与实轴夹角：

  （v) 实轴上的根轨迹
      当根轨迹增益Kg为正数时，实轴上的点若在根轨迹上，则其右方实轴上的开环零点数和极点数的和必为奇数。

  （vi) 实轴上的分离点和汇合点

  （vii) 复平面上的出射角和入射角
     根轨迹趋于开环零点-p1的出射角：

     根轨迹趋于开环零点-z1的入射角：

5. 设计数字控制器D(z)

（i) 明确D(z)通式

（ii) 离散系统稳态误差

（iii) 设计D(z)

   以例题进行叙述较为直观：

   以下为解题过程：

二、频率法

  本课程不讲解，故不作讨论。

三、解析法

A.最小拍设计

1.基本思想

  核心思想：将期望的闭环系统行为预先确定下来，用公式表示出来， 再通过代数解法，求出控制器的传递函数。通常理想的系统为无纹波、无稳态误差的最少拍系统。

  对于如下系统：

  其闭环特征传递函数H(z)：

  得数字控制器传递函数D(z)：

  从上式可以看出 D(z)的解析法设计主要需要考虑H(z)和1-H(z)的形式 。

2.设计原则

（1）D(z)的物理可实现性

  所谓物理可实现性，即要求系统为因果系统。体现在：

要求 H(z)的分母阶数-分子阶数>=G(z)的分母阶数-分子阶数

（2）系统稳定性

H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的零点
1-H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的极点

（3）最少拍系统

  H(z)应为z^-1的多项式，即

（4）对特定输入无稳态误差

  1-H(z)应具有如下形式：

   其中K为输入信号的型别：

（5）无纹波

H(z)应包含G(z)的分子多项式

3.例题

  如下所示：

  （0) 离散化广义被控对象G(s)

  （i) D(z)的物理可实现性
    由式可知，D(z)只要求分母阶次>=分子阶次即可。

  （ii) 系统稳定性
    H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的零点：

    1-H(z)的零点中应包含G(z)中不稳定的极点：

  （iii) 最少拍系统
    H(z)应为z^-1的多项式，即

  （iv）对特定信号稳态误差为零
    由于输入信号为斜坡信号，因此有：

  （v）无纹波
    H(z)应包含G(z)的分子多项式。故有：

    且余项(F₀(z) / z^k)也为最少拍形式，故取K = 1，得：

  （vi）综合求解
    由（ii)（iii)（v)，得 H(z) ：

    观察可知 F₂(z) = z^-1F₀(z) / z^k，得：

    由上式，得 1-H(z)：

    由（ii)（iv)，得 1-H(z) 形式：

    为使使H(z)和1-H(z) 中 z^-1的最高阶次相等，取：

    故：

    对比两蓝色区域所示部分，应有：

    比较系数，解方程组：

    带入H(z)和1-H(z):

    得D(z):

    进而得计算机控制式:

B.大林算法（纯滞后对象的控制设计）