刷题笔记：快慢指针

快慢指针

相关证明

Th 1.在有环的链表中，快慢指针一定相遇。
证明：如果链表中有环，快慢指针一定在环内相遇。这可以看做是，快指针追赶慢指针的过程。

• 如果快指针在与慢指针差一步，则在下一步中，快指针前进两步，慢指针前进一步，两个指针相遇。
• 如果快慢指针相差两步，在下一步中，快指针前进两步，慢指针前进一步，两个指针相差一步，转为第一种情况。
• 如果快慢指针相差N步，经过N-1步的追逐，转换为第一种情况。
  因此在有环的链表中快慢指针必然相遇。
  2.Th 2：慢指针进入环之后，快指针最多比慢指针多绕一个圈。
  证明：当慢指针进入环时，假设快慢指针相差m步，则经过m步，快指针必然能追上慢指针。因为0<=m小于环的长度，所以，慢指针进入环后，快指针最多比慢指针多绕一个圈。

环长度的计算

当快慢指针p，q在环内第一次相遇后，两者之间的距离为0（也是链表的长度）。因此只需要让快慢指针继续从该点出发，直到下一次相遇，中间进行的操作次数就是环的长度。

寻找连接点

根据Th 1与Th 2，设慢指针进入到环中时的点为c，这个点即为连接点。设此时快指针p距离慢指针q有m步。则经过m步之后，p与q在p_q点相遇。
此时头结点head从链表头部出发，每次走一步。设链表中无环部分长度为a，p_q距离连接点c的距离为m，环的其余部分长度为n。

当快慢指针第一次相遇时，
慢指针走了S步：
S=a+m
此时快指针走了2S步：
2S=a+k*(m+n)+m
所以
2a+2m=a+k*(m+n)+m
a=(k-1)*(m+n)+n

从上式可以看到，k圈+n就是入环点了。为了找到这个入环点，让head指针从初始位置出发，一次走一步，慢指针从相遇点p_q出发，一次走一步，两个结点相遇的地方就是连接点。

例题

待补充