1.引言

首先，我们提出一个与概率论有关的有趣的经典问题：

一个通信系统含有 $n$ 根看起来一模一样的天线，按线性顺序排列，只要没有两根连续的天线都失效(defective)，那么这个系统就可以接收到信号，此时称这个通讯系统是有效的、能工作的(functional). 已经探明这 $n$ 根天线中，恰好有 $m$ 根天线是失效的，问此时通信系统仍然可以工作的概率是多大？举例来说，设 $n=4,m=2$ , 通信系统是否有效取决于这 $n$ 根天线的设置方式（它们的排列次序）。这 4 根天线一共有 6 种可能的排列设置方式

$\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

其中，1 表示天线有效， 0 表示天线失效。可以看出第2、4、5 种情况下整个通信系统仍然有效，而其他三种情况下系统将失效，因此，若天线的设置方式是随机排列的，所求得的概率应该是 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ . 对于一般的 $n$ 和 $m$ 来说，用类似上述方法可以计算出所求概率。即先计算使得系统仍然有效的设置方式有多少种，再计算总共有多少种设置方式，用前者除以后者即为所求概率。

从以上的讨论中可以看出，一个能有效地计算事件发生结果数目的方法是非常有用的。事实上，概率论里的很多问题只要通过计算一个事件发生结果的数目就能得以解决。关于计数的数学理论通常被称为组合分析(combinatorial analysis).

2.计数基本法则

对我们的整个讨论来说，以下关于技术的法则是基础。粗浅地说，若一个试验有 $m$ 种可能结果，另一个试验有 $n$ 种可能结果，则两个实验一共有 $m\times n$ 种可能结果。

计数基本法则

有两个试验要做，其中试验 1 有 $m$ 种可能发生的结果，试验 2 有 $n$ 种可能发生的结果，则对于这两个试验来说总共有 $m\times n$ 种可能结果。

基本法则的证明

通过列举做这两个试验所有可能的结果来证明这个问题，结果如下：

$\begin{array}{cccc} (1,1) & (1,2) & \cdots &(1,n)\\ (2,1) & (2,2) & \cdots & (2,n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ (m,1) & (m,2) & \cdots & (m,n) \end{array}$

其中 $(i,j), i=1,2,\cdots,m,\;j=1,2,\cdots,n$ 表示第一个试验的结果是其 $m$ 种可能结果中的第 $i$ 种，第二个试验的结果是其 $n$ 种可能结果中的第 $j$ 种。因此，做这两个试验的所有可能结果组成一个矩阵，共有 $m$ 行 $n$ 列，这些结果的总数为 $m\times n$ , 这样就完成了证明

例2a 一个小社团由 10 位女士组成，每位女士有 3 个孩子。现在要从其中选取一名女士和她的一个孩子评为“年度母亲和年度儿童”(mother and child of the year)，问一共有多少种可能的选取方式？

解：将选择一位女士看成第一个试验，而接下来选择这位女士的一个孩子看作第二个试验。那么根据计数基本法则可知，一共有 $10\times 3=30$ 种选取方式。

当有两个以上的试验时，基本法则可以推广如下：

推广的计数基本法则

一共做 $r$ 个试验：第一个试验有 $n_1$ 种可能结果；对应第一个试验的每一种试验结果，第二个试验有 $n_2$ 种可能结果；对应前两个试验的每一种试验结果，第三个试验有 $n_3$ 种可能结果；等等。那么，这 $r$ 个试验一共有 $n_1\times n_2\times \cdots \times n_r$ 种可能结果。

例2b 一个大学计划委员会由 3 名新生、4 名二年级学生、5名三年级学生、2名毕业班学生组成。现在要从中选 4 个人组成一个(委员会内的)小组委员会，并要求小组委员会的成员来自不同的年级，一共有多少种选择方式？

解：可以把问题理解成在计划委员会的成员从中每个年级选取一个代表，从而有 4 个试验；根据推广的计数基本法则，一共有 $3\times 4\times 5\times 2=120$ 种可能的选择结果。

例2c 车牌号是 7 位的，如果要求前 3 个位置必须是字母，后 4 个必须是数字，一共有多少种编排车牌号的方式？

解：根据推广的计数基本法则，可知道答案为 $26\times 26\times 26\times 10\times 10 \times 10 \times 10 \ =175,760,000.$

例2d 对于只定义在 $n$ 个点上的函数，如果函数取值只能为 0 或 1，这样的函数有多少？

解：设这 $n$ 个点为 $1,2,\cdots,n$ , 既然对每个点来说， $f(i)$ 的取值只能为 0 或者 1, 那么一共有 $2^n$ 个这样的函数。

例2e 在例2c 中，如果不允许字母或数字重复，一共有多少种可能的车牌号？

解：这种情况下，一共有 $26\times 25\times 24\times 10\times 9\times 8\times 7= 78,624,000$ 种可能的车牌号

概率论基础1：基本计数法则 The Basic Principle of Counting

1.引言

2.计数基本法则

计数基本法则

推广的计数基本法则

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