积分变换的公式推导以及例子

如果一个以 $Ｔ$ $T$ 为周期的函数 $f(x)$ 在

$\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]$

上满足狄利克雷条件，即:

1.除去有限个第一类间断点外，处处连续

2.分段单调，单调区间的个数有限

则 $f(x)$ 的fourier级数表示为：

$f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]$

在

$\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]$

上处处收敛，且在 $f(x)$ 的连续点处收敛于 $f(t)$ , 其中，

$\omega_0 =\frac{2\pi}{T}$

对上式两边求积分：

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg) dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}dt\\=\frac{a_0}{2}\cdot T$

所以:

$a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

对于 $\\ (m=1,2,3,\cdots)$

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)cos(m\omega_0t) dt\\=0+a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos^2(n\omega_0t)dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+cos(2n\omega_0t)}{2}dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{a_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}+\frac{a_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=a_n\cdot \frac{T}{2}+0$

所以:

$\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

$\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)sin(m\omega_0t) dt\\=0+b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}sin^2(n\omega_0t)dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-cos(2n\omega_0t)}{2}dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt -b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt - b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{b_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}-\frac{b_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=b_n\cdot \frac{T}{2}+0$

所以：

$\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

综上：

$a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

$\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

$\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)$

在电子通信领域，常常利用欧拉公式：

$cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$

$sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$

所以：

$\\f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0 t)\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n}{2}(e^{in\omega_0 t}+e^{-in\omega_0 t})-i\cdot \frac{b_n}{2}(e^{in\omega_0 t}-e^{-in\omega_0 t})\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]$

令：

$c_0=\frac{a_0}{2}$

$c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}$

$c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}$

得到fourier级数的复指数形式：

$\\f(t)\approx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]\\= c_0+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg(c_ne^{in\omega_0 t} + c_{-n}e^{-in\omega_0 t}\bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega_0 t}$

这里面：

$C_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt$

$\\C_n=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\bigg[\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt-i\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega _0 t)dt\bigg] \\=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\bigg[cos(n\omega_0 t)-isin(n\omega_0 t)\bigg]dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)$

同理:

$C_{-n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)$

上面的 $C_0, C_{-n},C_n$ 写为统一的形式为：

$C_{n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)$

令

$\omega _n=n\omega_0 \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)$

则综合上面各式，可得:

$\mathbf{f(t)\approx\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty}\bigg[ \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\omega _nt}dt\bigg]e^{i\omega _n t}}$

拆分后得到傅里叶级数形式：

$\\\mathbf{ F(n )=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n \in Z)}$

$\\\mathbf{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}\quad (n \in Z)}$

傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换：

$\\f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}$

当 $T\rightarrow \infty$ 时，周期信号变为非周期信号,由于 $\omega_0 =\frac{2\pi}{T}$ ，　傅里叶级数为：

$\\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0$

当 $T\rightarrow \infty$ 时候， $\Delta \omega =n\omega_0 - (n-1)\omega_0=\omega_0\rightarrow 0$

根据微积分的微元法，外面的累加可以看成求底边为 $\omega_0$ ,高为

$\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}$

的图形的面积：

所以：

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \qquad (-\infty<\omega< \infty )$

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )$

一个例子从傅里叶级数到傅里叶变换：

此函数的解析式是：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \qquad x>-\frac{T}{2}\ and \ x < -\tau \\ 1 \qquad \ \ x >-\tau \ and \ x < \tau\\ 0 \qquad \ \ \ \ x > \tau \ and \ x < \frac{T}{2} \end{matrix}\right.$

$\\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx =\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx = \frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx\\=\frac{1}{T}\bigg|^{\tau}_{-\tau}=\frac{2\tau}{T}$

$\\ b_n =0$

$\\ a_n =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}}f(x)cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx=\frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx \\=\frac{T}{2n\pi}\cdot \frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)d(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)=\frac{1}{n\pi}sin(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)\bigg|_{-\tau}^{\tau}=\frac{2sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

函数图形为：

python代码：


# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb  1 13:57:21 2021
@author: czl
"""
from pylab import *
 
x = mgrid[-20:20:0.01]
 
def fourier_wave():
    a0 = 3/16
    s=a0
    
    for n in range(1,1000,1):
        bn = 0
        an = 2*sin((2*n*pi*1.5/16))/(n*pi)
        s0 = an*cos(n*x*(2*pi/16))+bn*sin(n*x*(2*pi/16))
        s=s+s0
        
    plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)
    title('fourier_transform')
    show()    
 
fourier_wave()

复指数形式的傅里叶变换系数是：

$f(n\omega_0)=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{a_n}{2}=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

$f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}$

密度谱：

$T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{\frac{2n\pi\tau}{T}}$

当 $T->\infty$ 时:

$F(\omega)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\omega\tau)}{\omega\tau}$

下图表示的就是当 $T->\infty$ 时，信号代表的频谱密度。

这里的负频率的意义是单位圆的旋转方向，并不是普通意义上“负”的概念。

积分变换的公式推导以及例子

结束！

猜你喜欢