题目:现有四个物品,背包总容量为8,背包最多能装入价值为多少的物品
物品编号:1 2 3 4
物品体积:2 3 4 5
物品价值:3 4 5 6
编号\容量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
2 | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 |
3 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 | 9 |
4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 |
填表思路:
- 装不下当前物品,那么前n个物品最佳组合和前n-1个物品最佳组合一样。
- 能装下当前物品
1. 装入当前物品,背包中给当前物品预留相应空间,前n-1个物品最佳组合加上当前物品的价值,就是总价值
2. 不装当前物品,那么前n个物品最佳组合和前n-1个物品最佳组合一样
3. 选取1和2中较大价值,作为当前最佳组合的价值
背包问题回溯:
在使得背包内总价值最大的情况下,背包内装了那些物品
分析:当前价值 10,如果4号物品没装进去,那么当前价值(10)应该和前三个物品总价值(9)应该相同。显然10和9不同,所以4号物品被装进去了。
总结:从后往前回溯,如果前n个物品最佳组合价值和前n-1个物品最佳组合的价值一样,说明第n个物品没有被装入背包。反之,则被装入背包。
代码实现
// Dynamic programming
/* 物品编号 1 2 3 4
体积 2 3 4 5
价值 3 4 5 6*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
int weight[5] = {0, 2, 3, 4, 5};
int value[5] = {0, 3, 4, 5, 6};
int dp[5][9] = {0};
int object[5];
int max(int x, int y){
return x>y?x:y;
}
void printDp() {
for(int i=0;i<5;i++) {
for (int j=0; j<9; j++) {
printf("%d\t",dp[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
int dpWrite() {
memset(dp,0,sizeof(dp));
for (size_t i = 1; i < 5; i++) //物品编号
{
for (size_t j = 1; j < 9; j++) // 背包容量
{
if(weight[i]>j) //物品放不下
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j]= max(dp[i-1][j], value[i] + dp[i-1][j-weight[i]]);
}
}
printDp();
}
// 背包回溯问题
void Find(int i, int j) {
if (i == 0) {
for (int ii=0; ii<5; ii++) {
printf("%d ",object[ii]);
}
return;
}
// 没装入背包
if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
object[i] = 0;
Find(i-1, j);
}
// 装入背包
else if (dp[i][j] == value[i] + dp[i - 1][j - weight[i]]) {
object[i] = 1;
Find(i-1, j-weight[i]);
}
}
int main() {
dpWrite();
Find(4, 8);
printf("\n(%d, %d)===>[",4, 8);
for (int i=0; i<5; ++i) {
printf("%d ", object[i]);
}
printf("]\n");
}