最大子序列和的详解

一.问题

例：求数列的最大子段和。 给定n个元素的整数列（可以能为负整数）,a1,a2,…,an。求数列的字段，使其和最大。

例如：当(a1, a2, a3, a4, a5, a6)=(-2, 11, -4, 13, -5, -2)时，最大子段和为sum(11-4+13)=20。

二.解决方法

我这里采用两种方法：①遍历的方法  ②分治法

①遍历法

原理分析：遍历该数组，每遍历一个i元素就判断temp+a[i]是否大于a[i],如果大于就更新temp=temp+a[i],否则temp=a[i],最后temp跟当前最大子序列和maxsum比较，如果大于，则maxsum=temp；否则不更新maxsum;最后遍历完，直接返回maxsum.

遍历法的c语言源码：

#include<stdio.h>
//类似于01背包问题
int start,end;
int MaxSubsequenceSum( int A[], int n)
{
    int tempsum = 0;
    int maxSum = 0;
     int tstart=0,tend=0;
    for (int j = 0;j < n;j++)  //遍历数组
    {    
		if((tempsum + A[j]) > A[j]){  //判断临时最大和+一个当前元素是否大于当前元素，如果大于，则把当前元素加进来，更新临时最大和，否则临时最大和更新为当前元素
			tempsum=tempsum + A[j];
			tend=j;   //更新末尾位置   
		}
		else{      //如果临时最大和+一个当前元素小于当前元素，则更新临时最大和
		    tempsum=A[j];
			tstart=j;  //更新起始位置

		}
        if (tempsum > maxSum){   // 通过当前临时最大和与上一个最大和作比较，如果大于则更新最大和
            maxSum = tempsum;
		    start=tstart;  //更新起始位置
			end=tend;  //更新末尾位置
		}
    }
    return maxSum;
}
int main()
{
 int maxSubSum,n,i;
    int a[101]; 
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
     for(i=0;i<n;i++)
     scanf("%d",&a[i]);
     maxSubSum = MaxSubsequenceSum(a, n);
     printf("%d %d %d\n",maxSubSum,start,end);
 }
    return 0;
}

②分治法

原理分析：此问题用二分法分解后的两个子序列（子问题）并不独立，因为有可能最长的连续不升数列正好存在于两个子序列的连接位置。    

 如果将所给的序列a[1..n]分为长度相等的2段a[1--(n/2)]和a[(n/2)+1--n],则a[1--n]的最长连续不升数列有3种情况：

1) a[1..n]的最长连续不升数列与a[1..(n/2)]的最长连续不升数列相同;

2) a[1..n]的最长连续不升数列与a[(n/2)+1..n]的最长连续不升数列相同;

3) a[1..n]的最长连续不升数列为∑a[k],且1≤i≤(n/2),(n/2),(n/2)+1≤j≤n。

情况1和情况2可分别递归求得。 对于情况3,如果不在情况1和情况2中，则a[(n/2)]与a[(n/2)+1]一定在最优子序列中。因此,我们可以计算出a[i..(n/2)]的最大值s1;并计算出a[(n/2)+1..j]中的最大值s2。则s1+s2即为出现情况3时的最优值。

c语言源码：

#include<stdio.h>
#define max 100
int start=0;
int end=0;
int minsum(int a[], int left, int right) {
	int s,s0, s1, lf, rt;
	if (left == right)
		return a[left];
	else {
		int mid = (left + right)/2;
		int leftsum = minsum(a, left, mid);  //左子序列最大和
		int rightsum = minsum(a, mid + 1, right);  //右子序列最大和
		s0 = 0;  //左边临时和
		lf = 0;
		for(int i = mid; i >= 0; i--) {
			lf += a[i];
			if (lf > s0) {  //加上当前的数如果大于左边临时和，则更新左边临时和
				s0 = lf;
				start = i;  //起始点
			}
		}
		s1 = 0;  //右边临时和
		rt = 0;
		for(i = mid + 1;i <= right; i++){
			rt += a[i];
			if (rt > s1) {
				s1 = rt;
				end = i;  //末尾点
			}
		}
		s = s0 + s1;
		if (s< leftsum&&rightsum < leftsum)
			return leftsum;
		else if (s<rightsum&&rightsum>leftsum)
			return rightsum;
		else
		{
			return s;
		}

	}
}
int main() {
	int a[max],num,k=0,sum;
	
	while (scanf("%d", &num) != EOF) {
		k = 0;
		while (k<num)
		{
			scanf("%d", &a[k]);
			k++;
		}
		sum = minsum(a, 0, num-1);
		printf("%d  %d  %d\n", sum,start,end);
	}
	return 0;
}