信号与系统2022春季学期第四次作业

  ◎ 本文网络下载链接： 2022年春季第四次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/123550045

  关于提交作业的基本要求，请参见： 通过提交两份作业综述对提交作业的基本要求 。

§01 基础作业

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  基础作业部分包含有四道基础作业题目和两道实验题目。请注意：

• 每道题目中包含有必做题与选做题两部分。
• 必做题要求包含在提交的作业中；选择题仅用于思考和练习。
• 实验题为选做题。

1.1 求解卷积运算

1.1.1 求解两个信号卷积

（1）必做题

（2）选做题

1.1.2 图解方法求解卷积

  已知两个信号的表达式，分别为： $$f_1\left(t\right)=e^{-\frac{t}{2}}\cdot u\left(t\right),f_2\left(t\right)=u\left(t\right)-u\left(t-2\right)$$

  求解卷积 $f\left(t\right)=f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)$ ，并大致绘制出卷积信号波形。

根据卷积图解方法中的示例慢慢求解吧。

1.1.3 利用卷积求解系统响应

  下面给出的序列中， $x\left[n\right]$ 是系统的输入信号， $h\left[n\right]$ 是线性时不变系统的单位样值相应。利用卷积求解系统的零状态响应。

（1）必做题

▲ 图1.1.1 已知序列x[n],h[n]的波形

（2）选做题

▲ 图1.1.2 已知序列x[n],h[n]的波形

1.1.4 求解卷积数值

  已知 $f_1\left(t\right)$ 和 $f_2\left(t\right)$ 的波形如下图所示：

▲ 图1.1.3 参与卷积运算的两个信号的波形

  如果 $f\left(t\right)=f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)$ 。
  求： $f\left(1\right),f\left(3\right),f\left(5\right)$ 的数值。

注：这个题目只需要求解2,3,4处的卷积结果。建议将f1进行反褶平移，然后计算在t分别等于2,3,4的时候重叠的情况，然后再求解。

1.1.5 求解信号卷积

  已知两个信号 $x\left(t\right),h\left(t\right)$ 的表达式如下： $$x\left(t\right)=e^{-3t}\cdot u\left(t\right),h\left(t\right)=u\left(t-3\right)-u\left(t-5\right)$$

  （1） 求解他们的卷积结果；
  **（2）**利用卷积微分性质求解 $y\left(t\right)$ 的导数。

1.2 由卷积结果分析信号

1.2.1 绘制卷积结果

（1）必做题

  已知下面两个信号 $x\left(t\right)$ ， $h\left(t\right)$ ，请绘制出两个信号卷积结果 $y\left(t\right)$ 的波形。其中信号 $h\left(t\right)$ 的宽度 $\alpha$ 是一个参数。

▲ 图1.1.4 两个信号的の波形

  如果 $dy\left(t\right)/dt$ 只有三个间断点，请写出参数 $\alpha$ 的取值。

1.2.2 根据卷积结果求信号波形

（1）选做题

  已知下面信号 $x\left(t\right)$ 是由两个信号的卷积所得，请给出这两个信号的波形。

▲ 图1.2.2 两个信号的卷积结果

提示：按照前面必做题的结果分析该问题的一个简单结果。
请思考一下，这个题的答案 是否是惟一的？

1.3 解卷积

1.3.1 地址勘探信号处理

（1）必做题

  某地质勘探测试设备往地下发送的信号为： $$x\left[n\right]=\delta \left[n\right]-\frac{1}{2}\delta \left[n-1\right]$$ 接收到的回波信号为： $$y\left[n\right]={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n}u\left[n\right]$$ 如果地层反射特性可以使用卷积来描述，即： $$y\left[n\right]=h\left[n\right]\ast x\left[n\right]$$ 其中的 $h\left[n\right]$ 是地层反射单位冲激响应信号。

▲ 图1.3.1 发送信号与接收信号

  （1） 求 $h\left[n\right]$ ；
  （2） 以延时、相加、倍乘运算为基本单元，试绘制出系统方框图；

提示： 看课件中的求解过程。请注意，发送信号与接收信号都发生了改变。

1.3.2 利用解卷积进行信号分解

（1）选做题

  已知序列 $y\left[n\right]$ 是两个序列 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 卷积的结果，即： $$y\left[n\right]=x\left[n\right]\ast h\left[n\right]$$ 已知 $y\left[n\right],h\left[n\right]$ 的表达式为：

  相应的序列波形如下图所示：

▲ 图1.3.2 y[n],h[n]的波形

  利用解卷积求解 $x\left[n\right]$ 。

提示：可以根据课件中给出的解卷积公式进行计算。对于两个因果信号 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 的卷积结果 $y\left[n\right]$ ，如果已知 $y\left[n\right],h\left[n\right]$ ，那么求解 $x\left[n\right]$ 的公式为： $$x\left[n\right]=\left\{y\left[n\right]-\sum _{m=0}^{n-1}x\left[m\right]h\left[n-m\right]\right\}/h\left[n\right]$$

提示：可以应用Python中软件包 scipy.signal中的deconvolve求解解卷积。

from scipy import signal
N = 20
n = list(range(2*N-1))
tridim = [N - abs(i-N+1) - 1 for i in n]
tridim.extend([0]*10)
pul = list(range(1,5))[::-1]
x, remainder = signal.deconvolve(tridim, pul)

  下面是程序计算所得到的结果。

▲ 图1.3.3 求解的结果

1.4 系统性质分析

1.4.1 根据h[n]判断系统特性

  以下各序列是系统的单位样值相应 $h\left[n\right]$ ，试分析各系统的因果性与稳定性。

（1）必做题

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1.4.2 求解系统的单位冲激响应

  求解下图所示的系统单位冲激响应 $h\left(t\right)$ :

▲ 图1.4.1 系统框图

1.4.3 分析系统单位冲激响应

（1）选做题

  (a) Consider an LTI system with input and output related through the equation:yt $$y\left(t\right)={\int }_{-\infty }^t{e}^{-\left(t-\tau \right)}x\left(\tau -2\right)d\tau$$ What is the impulse response $h\left(t\right)$ for this system?

  (b) Determine the response of the system when the input $x\left(t\right)$ is as shown in following fiture:

▲ 图1.4.2 The Input x(t)

§02 实验作业

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  本次作业有两个实验作业题，都是选做题目。大家可以根据自己的时间和兴趣选做相应的实验题内容。

2.1 使用解卷积恢复模糊图像

2.1.1 背景介绍

  图像拍摄过程中由于运动会造成成像模糊，这个模糊过程也可以使用卷积来描述。运动造成的相机成像系统的点扩散函数(PSF)是一个与运动方向和速度相关的线段，即在曝光期间光点运动的轨迹。图像与该PSF卷积后便形成了模糊的图像。

▲ 图2.1.1 点扩散函数（PSF）

2.1.2 作业数据

（1）模糊图像数据相关文件下载

• 模糊图像回复相关数据文件下载链接 : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/raw/master/Signals&Systems/2022年/imagedata.mat

（2）调入MATLAB环境

  使用load命令，将imagedata.mat调入MATLAB的工作区域，
  包括有三个数据对象：
  ① I : 图像
  ② PSf:运动点扩散函数；
  ③ blurred：I与PSf卷积后形成的运动模糊图像。

▲ 图2.1.2 图片和运动模糊所产生的仿真图片

2.1.3 作业要求

• 请大家使用deconvwnr(blurred, PSf)命令对原图像进行解卷积，去除运动模糊效果。deconvwnr使用了维纳滤波的方法进行解卷积，感兴趣的同学可以进一步寻找相关的资料了解其原理。

• 通过imshow()命令可以显示解卷积后的效果。

2.2 回声模拟与消除

2.2.1 背景介绍

  在山间，或者洞穴中说活，会听到回声，这是声音在相距较远的山壁之间来回反射传播产生的效果。

  对于产生回声可以看做声音经过一个单位冲激响应为指数衰减的冲激序列的系统。序列的间隔代表了回声的间隔。如下图所示，就是一个间隔为0.5秒，衰减速度为(1/2)的序列。

▲ 图2.2.1 指数衰减回声脉冲信号序列

  声音信号卷积上述信号，就可以产生回声的效果。对于卷积后的信号，通过与上述序列进行解卷积，便可以还原出原来信号的声音。

2.2.2 作业数据

（1）回声音频数据文件下载链接

  作业中所需要的音频数据文件 echodata.mat 可以从下面链接下载得到。

• 回声数据下载链接 : https://gitee.com/tsinghuajoking/teaching-resources/raw/master/Signals&Systems/2022年/echodata.mat

▲ 图2.2.2 山间声音回声现象

（2）调入MATLAB环境

  在网络学堂下载给定的音频数据文件 echodata.mat.通过load命令将上述数据载入MATLAB工作区。其中会产生三个数据：

• rll：音频数据
• fs :采样率：44100
• psf:间隔为0.5秒，衰减为1/2的回声系统单位冲激响应信号。

2.2.3 实验要求

  请利用MATLAB命令进行如下实验：
  （1）通过sound(rll,fs)听取原始声音；
  （2）通过conv(rll,psf)获得回声信号；并通过sound()命令提取具有回声的声音；
  （3）通过deconvwnr(）命令对回声信号进行解卷积，从而消除回声效果，并通过sound()命令听取消除回声后的声音。

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■ 相关文献链接:

• 写文章-CSDN博客
• 两份提交的作业对比
• 模糊图像回复相关数据文件下载链接
• 回声数据下载链接

● 相关图表链接:

• [图1.1.1 已知序列xn
• [图1.1.2 已知序列xn
• 图1.1.3 参与卷积运算的两个信号的波形
• 图1.1.4 两个信号的の波形
• 图1.2.2 两个信号的卷积结果
• 图1.3.1 发送信号与接收信号
• [图1.3.2 yn
• 图1.3.3 求解的结果
• 图1.4.1 系统框图
• 图1.4.2 The Input x(t)
• 图2.1.1 点扩散函数（PSF）
• 图2.1.2 图片和运动模糊所产生的仿真图片
• 图2.2.1 指数衰减回声脉冲信号序列
• 图2.2.2 山间声音回声现象