扩散映射是一种非线性降维的方法。
Diffusion map使用了diffusion process的方法，假设黄色数据点a为热源，它可以扩散到其他点，扩散是随机行走的过程，如果目标距离热源远，则扩散概率小，反之扩散概率大。
diffusion process将空间距离转换为状态转移概率，从而确定随机行走的方向，确定细胞发育轨迹。
算法分为确定细胞转移方向（Markov矩阵）和降维（Markov矩阵特征值分解降维）两块；
如图所示，红色为目标细胞，在目标细胞周围有一些细胞，那么Diffusion Map首先计算这些细胞两两之间的距离，如果两个细胞距离较大，那么扩散概率就小，如果两个细胞距离较小，那么扩散概率就大。再将其转换为Markov矩阵，Markov矩阵表示某细胞向其他细胞转移的概率，因此在网络图中，边的权重可以用Markov矩阵中的元素表示：
如上图所示，对于邻近的几个细胞来说，当距离矩阵换算为Markov矩阵后，里面的元素代表细胞间扩散转移的概率，比如 M 12 M_{12} M12代表cell_1向cell_2转移的概率； M 13 M_{13} M13代表cell_1向cell_3转移的概率。距离远的细胞转移概率比较小，距离近的细胞转移概率比较大。
距离可以是节点之间特征的距离；
因此Markov矩阵表示细胞随机转移的方向，进而特征值分解降维到二维即可看出细胞的发育轨迹。
假设数据集中一共有 n n n个细胞，Markov矩阵 M M M为实对称矩阵，对矩阵进行对角化分解： M = ϕ Λ ψ , M t = ϕ Λ t ψ M=\phi\Lambda\psi,M^{t}=\phi\Lambda^{t}\psi M=ϕΛψ,Mt=ϕΛtψ其中， ϕ , ψ \phi,\psi ϕ,ψ互逆， ψ \psi ψ矩阵为 n × n n\times n n×n的特征向量方阵， t t t表示多重转移次数，转移多次后可以达到平稳状态，这个对角矩阵的主对角线表示的是 M M M矩阵的特征值（这里以3个为例）：
此时重构数据点： n e w = Λ ψ = [ λ 1 ψ 1 , . . . , λ n ψ n ] T new=\Lambda\psi=[\lambda_{1}\psi_{1},...,\lambda_{n}\psi_{n}]^{T} new=Λψ=[λ1ψ1,...,λnψn]T其中， ψ 1 , . . . , ψ n \psi_{1},...,\psi_{n} ψ1,...,ψn是 ψ \psi ψ矩阵的行向量；
可以得到： ψ M = Λ ψ , ψ M t = Λ t ψ \psi M=\Lambda\psi,\psi M^{t}=\Lambda^{t}\psi ψM=Λψ,ψMt=Λtψ其中， ψ M \psi M ψM代表将特征向量重新旋转拉伸，变换后的特征向量带有 M M M矩阵的特征，即细胞间距离的特征。
特征向量指向的点代表每个细胞在高维空间所在的点，变换后的列向量为带有细胞距离特征的新坐标点。
重构的新坐标点矩阵 n e w new new等于特征向量矩阵乘Markov矩阵，对应的元素是相等的，并以此作为新坐标点：
其中， λ \lambda λ的顺序为从大到小，反映了发育特征的重要程度，如果想降维到2维，只需要保留 ψ 1 , ψ 2 \psi_{1},\psi_{2} ψ1,ψ2对应的数据即可。