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写在前面：本文适合已经对SVD信道分解有一定了解的同学，希望进一步深入将SVD应用于大规模多用户MIMO系统的预编码设计。
一介绍
SVD全称 singular value decomposition，翻译为奇异值分解。基于奇异值分解的预编码算法，可以提高多用户毫米波大规模MIMO系统的频谱效率。可以将该预编码分成两步：
（1）模拟域预编码，目的：最大化等效信道矩阵；
（2）数字域预编码，目的：抑制用户间的干扰；
毫米波：频段在30~300GHz。优势：毫米波频率更高，波长更短，可使得天线尺寸更小，可在有限空间内部署更多的天线；缺点：路径损耗较大；
MIMO：Multi-input multi-output，大规模多输入多输出，为系统提供更多的空间增益
二. 系统模型
先上图
左边基站，根发射天线，
个射频链路，
个数据流。根据毫米波MIMO系统的特征，数据流少于射频链路数，少于发射天线数，也就是：
K个单天线用户。
信号s首先经过数字域预编码，接着经过模拟域预编码，最后发送端的发送信号为：
理解如下：
射频预编码使用模拟移相器实现的，只改变相位，不改变大小，所以中每个元素的模长为1。另外，由于发射机总功率的限制，这两个预编码满足：
(可以思考下为什么跟数据流个数相关）
用户k希望收到的消息为，其他的消息均可视为干扰，经过信道后，信号为：
后面为高斯白噪声。
利用有效信息 除以 干扰+噪声，可得到信干噪比（SINR）为：
累加所有K个用户的SINR，即可得到该系统的总频谱效率为：
接收信号，信干噪比，频谱效率，这三个参数的计算在通信领域是必须要会的。
三. 信道模型
此部分主要说明信道矩阵里面的元素究竟怎么取值。此处信道矩阵为一个
的行向量（接收天线数为1）。
最常用Saleh-Valenzuela信道模型，如下：
理解成常数的部分：
：发射天线数
：族群数目
：每个族中的路径数
：第i个族中第l条路径的复合增益，看成复高斯分布
理解成 行向量的部分：
:用户k接收端的阵列响应向量
：基站发射端的阵列响应向量
括号里面的元素就是与方位角相关的，可以理解成具体天线应该怎么摆放。
四. SVD预编码设计
本节分析涉及到数学中的优化问题，我就省去了，重点研究SVD预编码是如何起作用的。
4.1 模拟域编码
不考虑用户间的干扰，该编码的目的是希望信道矩阵乘以预编码矩阵的F范数值最大（也就是我们通常所说的等效信道最大化），如下：
借助SVD分解理论，可化简如下：
我将分步骤详细解释，每个地方的等号是怎么得到的。
第一个等号怎么来的：
第二个等号怎么来的：
第三个等号怎么来的：
第四个等号怎么来的：
后续利用数学工具进行优化求最大值即可，当然不要忘记前面谈到过中每个元素的模长为1，这个限制条件也要加进去（在优化中表现为求最小欧式距离），然后将非凸优化转化为凸优化即可，此处纯数学最优分析，暂时省去。
只要求出能让该值最大时，的取值即为该处的预编码方案。
4.2 数字预编码设计
此处预编码的目的为消除用户间的干扰，与块对角化（BD）结合SVD进行举例。
用BD预编码设计数字域预编码，首先构建第k个用户外的其他所有用户的信道矩阵，如下：
相等于构建了K-1个信道矩阵。
对进行SVD分解，如下：
：
的非零奇异值对应的右奇异向量构成的矩阵；
：
零奇异值对应的右奇异值构成的矩阵；
我们希望干扰信号落在对应零空间上，这样就产生不了干扰，所以更加关心
当然如果需要进一步抑制同一用户不同数据之间的干扰，需要对进一步SVD分解，如下：
利用代表每个用户接收的数据流数，最终该数字域预编码为：
到此，完整结束。
五. 总结
本算法分成两个阶段：
- 通过提取信道的右奇异矩阵设计模拟域预编码，避免了复杂的迭代；
- 基于等效信道，设计数字域预编码，消除用户间的干扰（SVD预编码的主要目的）；