manacher算法求最长回文子序列

一：背景

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

1. s="abcd"，最长回文长度为 1；
2. s="ababa"，最长回文长度为 5；
3. s="abccb"，最长回文长度为 4，即bccb。

以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为O(n^2)，效率很差。

1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：

设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。

假设我们现在求p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用p[j]来加快查找。

三：代码

//指定位置判断回文，此题为指定包含最后一个的最长回文序列。
char ma[maxn*2], s[maxn];
int  mp[maxn*2];
int ans,Mlen;
void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]='$';
    ma[l++]='#';
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]='#';
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])
            mp[i]++;
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
// 这里可以check(ma[i])        
ans=max(ans,mp[i]-1);
        if(mp[i]-1+i==l-1)
            Mlen=max(Mlen,mp[i]-1);
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    int kcase = 1;
    while(T--)
    {
        memset(ma,0,sizeof(ma));
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        ans=0;
        Mlen=0;
        Manacher(s,len);
        if(ans == len)
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, ans);
        else
            printf("Case %d: %d\n", kcase++, len - Mlen + len);
    }
}

四：题目

这个题目就是在原来的基础上添加了一个判断条件，看清楚在哪里添加。

//101350I - 2017 ACM Arabella Collegiate Programming Contest - Mirrored String II 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1010;
char ma[maxn*2];
int  mp[maxn*2];
char s[maxn];
int check(char zzz)
{
    if(zzz=='A'||zzz=='H'||zzz=='I'||zzz=='M'||zzz=='O'||zzz=='#'||
            zzz=='T'||zzz=='U'||zzz=='V'||zzz=='W'||zzz=='X'||zzz=='Y')
        return 1;
    return 0;
}

void Manacher(char s[],int len)
{
    int l=0;
    ma[l++]='$';
    ma[l++]='#';
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++]=s[i];
        ma[l++]='#';
    }
    ma[l]=0;
    int mx=0,id=0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i]=mx>i?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(check(ma[i+mp[i]])&&ma[i+mp[i]]==ma[i-mp[i]])//在这里添加check
        {
            mp[i]++;
        }
        if(i+mp[i]>mx)
        {
            mx=i+mp[i];
            id=i;
        }
    }
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>s;
        int len=strlen(s);
        Manacher(s,len);
        int ans=0;
        for(int i=0; i<len*2+2; i++)
            if(check(ma[i]))//这里添加check
                ans=max(ans,mp[i]-1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}