参考链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/362718946
本文主要参考链接博主的理论推导，并按照自己的理解作分析和修正
一、考虑问题：
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双目立体视觉系统的精度由那些因素决定？
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X/Y/Z三个方向的精度都是一样的吗？如果不是一样，哪个方向精度更好呢？
最常见的情况下，双目立体视觉的最终输出是左相机坐标系下的XYZ坐标，本篇便以这三个分量为精度分析对象。
首先，做一些变量的定义：
b ：基线长度，单位mm
f ：焦距
x, y ：像点坐标（以像主点为原点）
X, Y, Z ：相机坐标系下的坐标，单位mm
d ：视差
我们先看这三个分量的求解公式：
Z = b f d , X = Z f x , Y = Z f y Z = \frac{bf}{d},\ \ X = \frac{Z}{f}x,\ \ Y = \frac{Z}{f}y Z=dbf, X=fZx, Y=fZy
从公式可知，在硬件参数 b, f 固定的情况下， XYZ 的值和像点坐标值直接相关，XYZ 的精度实际上是像点精度下的空间偏差值，因此我们以像点精度为基本（最小）精度单位。
二、对博主的推导作修正：
当变量定义如下
像素x代表的是尺寸大小，单位mm
焦距f代表物理尺寸，单位mm
视差d代表物理尺寸，单位mm
才能使用博主的推导公式，下面对Z方向的精度推导作解释。
假设像点 x,y 的精度（像素尺寸）为 s x , s y s_{x},\ s_{y} sx, sy ，视差 d 的精度为 s d s_{d} sd 。通常认为 x,y 的精度是相同的，即 s x = s y = s s_{x} = s_{y} = s sx=sy=s ，而视差的精度一般来说可以用公式
s d = s x 2 s_{d} = \frac{s_{x}}{\sqrt{2}} sd=2sx
Z方向精度
首先对于 Z ，自变量是 d ，我们对 d 求偏导，可得
∂ Z ∂ d = − b f d 2 = − Z 2 b f \frac{\partial Z}{\partial d} = - \frac{bf}{d^{2}} = - \frac{Z^{2}}{bf} ∂d∂Z=−d2bf=−bfZ2
∂ Z / ∂ d \partial Z/\partial d ∂Z/∂d
的单位是mm/mm，物理意义为每毫米视差值代表的空间距离大小，需要再乘以视差精度 s d s_{d} sd，才能得出单个视差精度代表的空间距离大小，单位mm/pix
可得：
s Z = Z b Z f s d = Z b Z f s x 2 s_{Z} = \frac{Z}{b}\frac{Z}{f}s_{d} = \ \frac{Z}{b}\ \frac{Z}{f}\ \frac{s_{x}}{\sqrt{2}} sZ=bZfZsd= bZ fZ 2sx
可知 Z 方向精度和 Z 的平方正相关，即和物体离相机的距离的平方正相关（严格来说是 Z
方向距离）。
假设 q = Z b , m = Z f q = \frac{Z}{b},m = \frac{Z}{f} q=bZ,m=fZ ，则 q
是我们所熟知的基高比的倒数， m 是影像的尺度（即GSD，一个像素代表的空间尺寸），这个公式显示，基高比和GSD对 Z 方向精度起着关键作用，更大的基高(1/q)和更小的GSD (m)有助于提高 Z 方向精度。这可以用于指导双目立体视觉系统的设计。
同理参考博主的推导过程，可得出XY方向精度。
三、推导简化
上述的推导需要知道相机的像素和焦距的实际尺寸，比较麻烦。
通常情况下，标定文件中的内参数据都是以pix为单位，下面以像素pix为单位作推导
当变量定义如下
像素x代表的是像素坐标，单位pix
焦距f代表像素比值，单位pix
视差d代表像素比值，单位pix
Z方向精度
首先对于 Z ，自变量是 d ，我们对 d 求偏导，可得
∂ Z ∂ d = − b f d 2 = − Z 2 b f \frac{\partial Z}{\partial d} = - \frac{bf}{d^{2}} = - \frac{Z^{2}}{bf} ∂d∂Z=−d2bf=−bfZ2
此时 ∂ Z / ∂ d \partial Z/\partial d ∂Z/∂d
的单位是mm/pix，物理意义为单个像素pix代表的空间距离大小，需要再除以 2 \sqrt{2} 2，才能得出单个视差精度代表的空间距离大小
可得：
s Z = 1 2 Z b Z f s_{Z} = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{Z}{b}\frac{Z}{f}\ sZ=21bZfZ
可知 Z 方向精度和 Z
的平方正相关，即和物体离相机的距离的平方正相关（严格来说是 Z
方向距离）。
XY方向精度
同理，对于 X ，自变量是 Z 和 x ，我们对 Z 和 x 求偏导，可得
∂ X ∂ Z = x f , ∂ X ∂ x = Z f \frac{\partial X}{\partial Z} = \frac{x}{f},\ \ \frac{\partial X}{\partial x} = \frac{Z}{f} ∂Z∂X=fx, ∂x∂X=fZ
X 方向精度可表示为
s X = ( x f s Z ) 2 + ( Z f ) 2 s_{X} = \sqrt{ {(\frac{x}{f}s_{Z})}^{2} + {(\frac{Z}{f})}^{2}} sX=(fxsZ)2+(fZ)2
同理， Y 方向精度可表示为
s Y = ( y f s Z ) 2 + ( Z f ) 2 s_{Y} = \sqrt{ {(\frac{y}{f}s_{Z})}^{2} + {(\frac{Z}{f})}^{2}} sY=(fysZ)2+(fZ)2
把 s Z = Z 2 2 b f , X = Z f x , Y = Z f y s_{Z} = \frac{Z^{2}}{\sqrt{2}bf},\ \ X = \frac{Z}{f}x,\ \ Y = \frac{Z}{f}y sZ=2bfZ2, X=fZx, Y=fZy代入公式，可得
s X = Z f 1 + ( x Z 2 f b ) 2 = Z f 1 + ( X 2 b ) 2 s_{X} = \frac{Z}{f}\sqrt{1 + {(\frac{xZ}{\sqrt{2}fb})}^{2}}\ = \frac{Z}{f}\sqrt{1 + {(\frac{X}{\sqrt{2}b})}^{2}}\ sX=fZ1+(2fbxZ)2 =fZ1+(2bX)2
s Y = Z f 1 + ( y Z 2 f b ) 2 = Z f 1 + ( Y 2 b ) 2 s_{Y} = \frac{Z}{f}\sqrt{1 + {(\frac{yZ}{\sqrt{2}fb})}^{2}}\ = \frac{Z}{f}\sqrt{1 + {(\frac{Y}{\sqrt{2}b})}^{2}}\ sY=fZ1+(2fbyZ)2 =fZ1+(2bY)2
可以看出，X,Y方向的精度不仅跟Z的距离正相关，还跟各自的X,Y方向距离正相关。
Y/Z精度曲线
为了更清晰的观察Y/Z方向精度随着 Z 值变化的趋势，我们来做一个仿真，计算并绘制 Z 和 Y 方向（Y 方向和X方向等尺度，趋势一致）的精度曲线。
根据实际案例参数数据分析
案例一：
Y = 58 mm， Y方向58毫米处的精度
f = 275 pix
b = 32 mm
绘制的精度曲线如下：
案例二：
Y = 580 mm，Y方向580毫米处的精度
f = 275 pix
b = 32 mm
从精度计算的结果和趋势图可以看出，精度数值随着 Z 的增加而变大（意味着精度越来越差），且当 Z 值较大时，
Z方向精度比Y方向精度要差，随着 Z 的增加，差距更加明显。
从仿真数据看，Z方向距离1000mm时，精度值高达80mm，即8%的精度误差。实际上并没有这么大，这与双目立体视觉算法有关。算法的后处理做了子像素拟合，精度为subpix代表的空间大小，因此，实际精度可能只有仿真数据的几分之一。
Y方向的精度不仅跟Z值相关，还跟本身的Y值正相关，Y越大，Y方向的精度越差。