转子不平衡振动信号提取方法之最小二乘法

转子不平衡是机械设备失效的重要原因之一，因此在一些重要的大型设备上进行动平衡实时监测是非常必要的。最常用的动平衡方法是影响系数平衡法，但是却不能达到实时监测的目的，而基于最小二乘法原理的不平衡信号提取方法可以轻易达到此目的。本文接下来将对基于最小二乘法的转子不平衡信号提取做详细介绍。

转子做周期性旋转时，不平衡质量m所产生的周期性离心惯性力引起转子振动，这种周期性的振动具有以下特点：

1. 不平衡振动的频率在某一平面上与转子转速相等，转子径向方向振动具有明显的基频特征，振动信号功率谱中，振动能量主要集中在基频处；

2. 转子振动因强迫振动是一个简谐振动，所以转子的振动规律是一个比较规则的正玄波，相位也比较稳定；

3. 在其他条件不变时，可以认为振动的大小与引起振动的干扰力成正比，随着转速的增大而增大。

针对转子不平衡振动信号的特点，由Fourier级数的定义可知，任意一个周期函数，只要满足狄利克雷条件，都可以分解为基波与整数倍基频的高次谐波和。由此提出了一种基于正弦信号幅值和相位的最小二乘法，即利用专业测频方法，测得转子主轴转频，作为振动信号的基频。使得拟合分解的倍频模态信号与振动信号的差值的平方和最小。欲拟合的倍频振动信号y和直流分量b的表达式为：

$y = b + Y_{1} sin(2\pi f_{1}t + \varphi _{1} ) + Y_{2} sin(4\pi f_{1}t + \varphi _{2} ) + \cdots + Y_{n} sin(2*n\pi f_{1}t + \varphi _{n} )$ (1)

转子径向振动信号中的高频分量多为噪声信号，所占比重小，即功率谱能量小，因此，本例仅拟合振动信号的前六阶频率成分，进而研究不平衡振动信号的提取方法。由式（1），转子振动信号可表示为：

$y = b + Y_{1} sin(2\pi f_{1}t + \varphi _{1} ) + Y_{2} sin(4\pi f_{1}t + \varphi _{2} ) + Y_{3} sin(6\pi f_{1}t + \varphi _{3} ) + Y_{4} sin(8\pi f_{1}t + \varphi _{4} ) + Y_{5} sin(10\pi f_{1}t + \varphi _{5} ) + Y_{6} sin(12\pi f_{1}t + \varphi _{6} ) + G(t)$ (2)

式中G(t)为振动信号的高阶、异频成分；

接下来，该算法的目的是使拟合的振动信号y与原始转子振动信号 $y_{i}$ 的距离最小，令：

$\phi(b,Y_{1},\varphi _{1},Y_{2},\varphi _{2},Y_{3},\varphi _{3},Y_{4},\varphi _{4},Y_{5},\varphi _{5},Y_{6},\varphi _{6}) = \sum_{i=1}^{n}(y-y_{i})^{2}$ (3)
式中，n 是振动信号的点数。

为了使算法简单快速，将拟合的前六阶振动信号线性化为表达式（4）：

$y = a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \cdots + a_{12}x_{12} + b$ (4)

与式（4）对应的是式(2)的展开式：

$y = Y_{1}cos(\varphi _{1} ) * sin(2\pi f_{1}t) + Y_{1}sin(\varphi _{1} )*cos(2\pi f_{1}t) + Y_{2}cos(\varphi _{2} ) * sin(4\pi f_{1}t) + Y_{2}sin(\varphi _{2} )*cos(4\pi f_{1}t) + \cdots +b$ (5)

对比则有：

$a_{1}=Y_{1}cos(\varphi _{1}) ,x_{1}=sin(2\pi f_{1}t),a_{2}=Y_{1}sin(\varphi _{1}) ,x_{2}=cos(2\pi f_{1}t),\cdots$ (6)

而最小二乘法要求使得式（3）取得最小值，根据高等数学连续函数的最小值定理可知，使式（3）分别对 a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，a6 ，a7 ，a8 ，a9 ，a10 ，a11 ，a12 ，b 求偏微分，并令各自的偏微分方程等于0，有：

$\frac{\partial \phi }{\partial a_{1}} = \frac{\partial \phi }{\partial a_{2}}= \frac{\partial \phi }{\partial a_{3}} = \cdots =\frac{\partial \phi }{\partial a_{12}}=\frac{\partial \phi }{\partial b} =0$ (7)

把（4）代入（3），对式（7）进行展开，得到如下方程组：

$\frac{\partial \phi }{\partial b} = \frac{\partial \phi }{\partial y}\cdot \frac{\partial y }{\partial b} = 2\sum_{i=1}^{n}(y-y_{i})=0$

$\frac{\partial \phi }{\partial a_{1}} = \frac{\partial \phi }{\partial y}\cdot \frac{\partial y }{\partial a_{1}} = 2\sum_{i=1}^{n}(y-y_{i})\cdot x_{1i}=0$

$\frac{\partial \phi }{\partial a_{2}} = \frac{\partial \phi }{\partial y}\cdot \frac{\partial y }{\partial a_{2}} = 2\sum_{i=1}^{n}(y-y_{i})\cdot x_{2i}=0$

$\huge \cdots$

$\frac{\partial \phi }{\partial a_{12}} = \frac{\partial \phi }{\partial y}\cdot \frac{\partial y }{\partial a_{12}} = 2\sum_{i=1}^{n}(y-y_{i})\cdot x_{12i}=0$

整理上述方程组，有：

$\large \left\{\begin{matrix}n\cdot b+\sum_{i=1}^{n}x_{1i}a_{1}+\cdots +\sum_{i=1}^{n}x_{12i}a_{12}=\sum_{i=1}^{n}y_{i} \\ \sum_{i=1}^{n}x_{1i}b+\sum_{i=1}^{n}x_{1i}^2a_{1}+\cdots +\sum_{i=1}^{n}x_{1i}x_{12i}a_{12} = \sum_{i=1}^{n}x_{1i}y_{i} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \sum_{i=1}^{n}x_{12i}b+\sum_{i=1}^{n}x_{12i}x_{1i}a_{1}+\cdots +\sum_{i=1}^{n}x_{12i}^2a_{12} = \sum_{i=1}^{n}x_{12i}y_{i} \end{matrix}\right.$ (8)

令：

$\large X = \begin{bmatrix} 1 & x_{1,1} & x_{2,1} & \cdots & x_{12,1} \\ \cdots& \cdots& \cdots& \cdots&\cdots \\ 1& x_{1,i} &x_{2,i} &\cdots &x_{12,i} \\ \cdots& \cdots& \cdots & \cdots&\cdots \\ 1& x_{1,n} & x_{2,n} &\cdots &x_{12,n} \end{bmatrix}$ ,

$\large \alpha =[b,a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9},a_{10},a_{11},a_{12}]$

则方程组（8）可以写为：

$\LARGE X^TX\alpha = X^TY$

进而求得各参数的解：

$\LARGE \alpha =(X^TX)^{-1} X^TY$

求得α后，即可以求得式(2)中的振动信号前6阶频率成分的幅值和相位 $Y_{1},\varphi _{1},Y_{2},\varphi _{2},Y_{3},\varphi _{3},Y_{4},\varphi _{4},Y_{5},\varphi _{5},Y_{6},\varphi _{6}$

根据不平衡振动基频特性，拟合的不平衡量引起的振动信号为： $y_{1}=Y_{1}sin(\omega t + \varphi _{1})$ ,由主轴系统不平衡量引起的振动信号的特点及转子系统本身的使用情况，如果基频能量集中，就可以判断 $y_{1}$ 是不是由不平衡振动引起。一个简单的判定方法是，如果 $min\begin{Bmatrix} Y_{1}/Y_{2} &Y_{1}/Y_{3} &Y_{1}/Y_{4} &Y_{1}/Y_{5} &Y_{1}/Y_{6} \end{Bmatrix} > 2$ ,就可以认定 $y_{1}$ 是由不平衡振动引起的。

转子不平衡振动信号提取方法之最小二乘法

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