matlab 杨氏双缝干涉实验

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一、算法原理

  杨氏双缝干涉实验是利用分波振面法获得相干光束的典型例子，如图1 所示，在普通单色光光源后放一狭缝$S$，$S$后又放有与$S$平行且等距离的两平行狭缝$S_1$和$S_2$ 。单色光通过两个狭缝$S_1$，$S_2$射向屏幕，相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射的叠合，由于到达屏幕各点的距离（光程）不同引起相位差，叠合的结果是在有的点加强，在有的点抵消，造成干涉现象。$d$为双缝的间隔，$D$为屏幕到双狭缝平面的距离，$y$为$O$到$P$的距离。

考虑两个相干光源到屏幕上任意点$P$的距离差为：
$$r_1=\sqrt{(D^2+(y-\frac{d}{2}{)}^2}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$r_2=\sqrt{(D^2+(y+\frac{d}{2}{)}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\Delta r=r_2-r_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

  引起的相位差为：
$$\phi =2\pi \frac{\Delta r}{\lambda }\text{\hspace{1em}(4)}$$

  设两束相干光在屏幕上$P$点产生振幅相同，均为$A_0$，则夹角为$\phi$的两个矢量$A_0$的合成矢量的幅度为：
$$A=2A_{0}cos(\frac{\phi }{2})\text{\hspace{1em}(5)}$$

光强$I$正比于振幅的平方，故$P$点光强为
$$I=4I_{0}co{s}^2(\frac{\phi }{2})\text{\hspace{1em}(6)}$$

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  下面从理论上加以推导，由上面的式（1～2）可得
$$r_2^2-r_1^2=(r_2+r_1)(r_2-r_1)=2dy\text{\hspace{1em}(7)}$$

考虑到$d,y$ 很小，$（r1+r2）\approx 2D$，结合（7）式有
$$r_2-r_1=\frac{d}{D}y\text{\hspace{1em}(8)}$$

这样就得点$P$处于亮条纹中心的条件为
$$y=\frac{D}{d}2k\frac{\lambda }{2},k=0,\pm 1,\pm 2,...\text{\hspace{1em}(9)}$$
  因此，亮条纹是等间距的. 若采用红光，其波长$\lambda =500nm$，屏幕到双狭缝平面的距离$D＝1m$，双缝的间隔$d＝2mm$，则相邻条纹间距为

$$\frac{D}{d}\lambda =\frac{1}{0.002}\times 500\times 10^{-9}=2.5\times 10^{-4}m\text{\hspace{1em}(10)}$$

二、代码实现

%% 模拟杨氏干涉现象
clear,clc;
%% -----------------------------输入参数----------------------------------
Lambda = 500e-9;                   % 输入波长
a = 2e-3;                          % 双缝间距
D = 1;                             % 观察屏离双缝距离
%% -----------------------------计算光强----------------------------------
ym = 5*Lambda*D/a;                 % 取最高为第5级亮条纹(边界)--单位为：m
xs = ym;                           % 设定光屏的范围
ys = linspace(-ym,ym,101);         % 把光屏的y 方向分成101 点

r1 = sqrt((ys-a/2).^2+D.^2);       % 光程差r1
r2 = sqrt((ys+a/2).^2+D.^2);       % 光程差r2
phi = 2.*pi.*(r2-r1)./Lambda;      % 相位差
I = 4.*cos(phi/2).^2;              % 合成波光强
%% ----------------------------结果可视化---------------------------------
N = 255;                           % 确定用的灰度等级为255 级
Ir = (I'/4.0)*N;                   % 使最大光强对应于最大灰度级（白色）
subplot(1,2,1);
image(xs,ys,Ir);                   % 画干涉条纹
colormap(gray(N));
xlabel('空间坐标x');
title('合成光强空间分布');
subplot(1,2,2);
plot(I,ys)                         %  画出光强变化曲线
xlabel('空间坐标x'), ylabel('合成光强度');
title('合成光强空间分布函数');

三、结果展示

上图是光屏上的干涉图条纹，右图是光屏上沿y 轴方向光强的变化曲线． 从图中也不难看出，干涉条纹是以点O 所对应的水平线为对称，沿上下两侧交替，等距离排列。可以看出相邻亮条纹中心间距为$2.5\times 10^{-4}m$。与式（10）计算结果相一致。