2024年中国研究生数学建模竞赛F题
X射线脉冲星光子到达时间建模
脉冲星（Pulsar）是高速自转的中子星，具有体积小、密度大的特征。脉冲星的高速自转会形成脉冲，而脉冲的周期其实就是脉冲星的自转周期 。在旋转过程中，脉冲星的磁场会形成强烈的电磁波，就像是“宇宙中的灯塔”，源源不断地、有规律地向外界发射电磁波。正是由于其自转的连续性和稳定性，脉冲星被认为是宇宙中最精确的时钟。脉冲星可以提供独立、稳定的空间参考基准和时间基准，为空间飞行提供导航信标。深空航天器导航以及时间基准的维持对于大国战略安全、航天技术发展、深空探测等都有重要意义。
由于X射线信号不能穿过地球大气，因此脉冲星的X射线波段观测只能在空间开展。2016年11月，我国发射了首颗X射线脉冲星导航试验卫星（X-ray Pulsar Navigation-1, XPNAV-1）对蟹状星云Crab脉冲星（PSR B0531+21）进行观测。Crab脉冲星位于超新星1054 AD（Anno Domini，此处指公元1054年）中心处，是恒星、超新星爆发后在蟹状星云中的残骸，自转周期约为33ms，在X射线波段具有很强的流量，辐射的X射线光子可被空间X射线探测器探测。
在观测过程中，由于卫星不断围绕地球转动，所以卫星轨道位置是实时变化的。在三维空间内描述轨道上的一点，需要六个轨道根数（或称轨道要素、轨道元素或轨道参数），包括：偏心率
、角动量
、轨道倾角
、真近点角
以及升交点赤经
和近地点幅角
（具体含义见附录）。为恢复脉冲星的周期性信号，需要将光子到达探测器的时刻转换到惯性系中某一参考点，如太阳系质心天球参考系（Barycentric Celestial Reference System，BCRS）中的坐标原点，即太阳系质心（Solar System Barycenter，SSB）。
脉冲星、卫星和太阳系质心的几何关系如图1所示，X射线脉冲星导航（XPNAV）原理与GPS的差分定位（DGPS）原理类似，均是基于到达时间测距。DGPS是通过比较地面监控站和接收机接收相同卫星的信号传播时间，从而确定接收机的位置和速度等参数。XPNAV则是通过比较脉冲到达太阳系质心和观察航天器（卫星等）接收相同脉冲星的脉冲到达时间实现航天器的定位导航，因此，需要分别计算脉冲到达航天器与太阳系质心的传播时间差，进而求解航天器相对于太阳系质心的位置。求这个时间差的公式也称为时间转化方程，然而，现有的时间转换模型并不令人满意。
图1 脉冲星、卫星和太