非平稳时间序列分析（二）——ARIMA(p, d, q)模型

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一、ARIMA(p,d,q)模型的结构

通过差分运算，可以提取序列的确定性信息，经过差分的后的非平稳序列会显示出平稳序列的特征，称这一非平稳的序列为差分平稳序列，可以对其使用ARIMA模型进行拟合。

ARIMA模型的结构：

ARIMA模型，全称为自回归积分滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average），是一种广泛应用于时间序列分析中的统计模型。它通过结合自回归（AR）、差分（I）和滑动平均（MA）三种成分，来捕捉时间序列数据的复杂结构。

ARIMA模型主要由以下三部分组成：

自回归（AR）部分：利用过去的值来预测当前的值。
差分（I）部分：通过差分使时间序列平稳。
滑动平均（MA）部分：利用过去的误差项来预测当前的值。

ARIMA模型的数学表达式（基于滞后算子）：

其中：

Φ(B)=是 p 阶自回归多项式
$\bigtriangledown ^{d}=(1-B)^{d}$ 是 d 次差分算子，n阶差分表达式为： $\bigtriangledown ^{d}X_{t}=(1-B)^{d}X_{t}$
Θ(B)=是 q 阶滑动平均多项式
εt 是白噪声序列
B 是滞后算子

特别地，当差分阶数 d=0，ARMA(p, d, q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型。

ARIMA模型的另一种数学表达

ARIMA模型的另一种数学表达式：

其中，Yt 为经过差分运算后的序列。

因此，从表达式可以看出，ARIMA模型的实质就是差分运算与RIMA模型的组合。这表明任何非平稳的序列，若差分后能平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA模型拟合，而ARMA模型的分析方法又十分成熟，故对差分平稳序列的分析也是非常简单和可靠的。

二、ARIMA模型的性质

1、平稳性

定义广义自回归系数多项式为 $\varphi (B)=\Phi (B)(1-B)^{d}x_{t}$ ，ARIMA模型的平稳性完全由 $\varphi (B)=0$ 的特征根的性质决定，广义自回归系数多项式共有 p+d 个根，其中 p 个根在单位圆外，d 个根在单位圆上（相应的，由于自回归系数多项式的根为特征根的倒数，则有 p 个根在单位圆内，d 个根在单位圆上）。