机器学习算法总结--K近邻

参考文章：

• 《统计学习方法》
• 机器学习常见算法个人总结（面试用）
• 机器学习系列(9)_机器学习算法一览（附Python和R代码）

简介

k近邻（KNN)是一种基本分类与回归方法。

其思路如下：给一个训练数据集和一个新的实例，在训练数据集中找出与这个新实例最近的$k$个训练实例，然后统计最近的$k$个训练实例中所属类别计数最多的那个类，就是新实例的类。其流程如下所示：

1. 计算训练样本和测试样本中每个样本点的距离（常见的距离度量有欧式距离，马氏距离等）；
2. 对上面所有的距离值进行排序；
3. 选前$k$个最小距离的样本；
4. 根据这$k$个样本的标签进行投票，得到最后的分类类别；

KNN的特殊情况是$k=1$的情况，称为最近邻算法。对输入的实例点（特征向量）$x$，最近邻法将训练数据集中与$x$最近邻点的类作为其类别。

三要素

1. $k$值的选择
2. 距离的度量（常见的距离度量有欧式距离，马氏距离）
3. 分类决策规则（多数表决规则）

k值的选择

1. $k$值越小表明模型越复杂，更加容易过拟合
2. 但是$k$值越大，模型越简单，如果$k=N$的时候就表明无论什么点都是训练集中类别最多的那个类

所以一般$k$会取一个较小的值，然后用过交叉验证来确定
这里所谓的交叉验证就是将样本划分一部分出来为预测样本，比如95%训练，5%预测，然后$k$分别取1，2，3，4，5之类的，进行预测，计算最后的分类误差，选择误差最小的$k$

距离的度量

KNN算法使用的距离一般是欧式距离，也可以是更一般的$L_p$距离或者马氏距离，其中$L_p$距离定义如下：

$$L_p(x_i, x_j) = (\sum_{l=1}^n |x_i^{(l)} - x_j^{(l)} |^p)^{\frac{1}{p}}$$
这里 $x_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)},...x_i^{(n)})^T, x_j = (x_j^{(1)}, x_j^{(2)}, ... , x_j^{(n)})^T$，然后 $p \ge 1$。

当$p=2$，称为欧式距离，即

$$L_2(x_i, x_j) = (\sum_{l=1}^n |x_i^{(l)} - x_j^{(l)} |^2)^{\frac{1}{2}}$$
当 $p=1$，称为曼哈顿距离，即
$$L_1(x_i, x_j) = \sum_{l=1}^n |x_i^{(l)} - x_j^{(l)} |$$
当 $p = \infty$，它是各个坐标距离的最大值，即
$$L_\infty(x_i, x_j) =max_l |x_i^{(l)} - x_j^{(l)} |$$

马氏距离如下定义：

KNN的回归

在找到最近的$k$个实例之后，可以计算这$k$个实例的平均值作为预测值。或者还可以给这$k$个实例添加一个权重再求平均值，这个权重与度量距离成反比（越近权重越大）。

优缺点

优点

1. 思想简单，理论成熟，既可以用来做分类也可以用来做回归；
2. 可用于非线性分类；
3. 训练时间复杂度为$O(n)$；
4. 准确度高，对数据没有假设，对异常值不敏感；

缺点

1. 计算量大；
2. 样本不平衡问题（即有些类别的样本数量很多，而其它样本的数量很少）；
3. 需要大量的内存；

KD树

KD树是一个二叉树，表示对K维空间的一个划分，可以进行快速检索（那KNN计算的时候不需要对全样本进行距离的计算了）

构造KD树

在k维的空间上循环找子区域的中位数进行划分的过程。
假设现在有K维空间的数据集$T={x_1,x_2,x_3,…x_n},x_i={a_1,a_2,a_3..a_k}$

1. 首先构造根节点，以坐标$a_1$的中位数$b$为切分点，将根结点对应的矩形局域划分为两个区域，区域1中$a_1<b$,区域2中$a_1>b$
2. 构造叶子节点，分别以上面两个区域中$a_2$的中位数作为切分点，再次将他们两两划分，作为深度1的叶子节点，（如果$中位数a_2=中位数$，则$a_2$的实例落在切分面）
3. 不断重复2的操作，深度为$j$的叶子节点划分的时候，索取的$a_i$ 的$i=j%k+1$，直到两个子区域没有实例时停止

KD树的搜索

1. 首先从根节点开始递归往下找到包含$x$的叶子节点，每一层都是找对应的$x_i$
2. 将这个叶子节点认为是当前的“近似最近点”
3. 递归向上回退，如果以$x$圆心，以“近似最近点”为半径的球与根节点的另一半子区域边界相交，则说明另一半子区域中存在与$x$更近的点，则进入另一个子区域中查找该点并且更新”近似最近点“
4. 重复3的步骤，直到另一子区域与球体不相交或者退回根节点
5. 最后更新的”近似最近点“与$x$真正的最近点

KD树进行KNN查找

通过KD树的搜索找到与搜索目标最近的点，这样KNN的搜索就可以被限制在空间的局部区域上了，可以大大增加效率。

KD树搜索的复杂度

当实例随机分布的时候，搜索的复杂度为$log(N)$，$N$为实例的个数，KD树更加适用于实例数量远大于空间维度的KNN搜索，如果实例的空间维度与实例个数差不多时，它的效率基于等于线性扫描。

代码实现

使用sklearn的简单代码例子：

#Import Library
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

#Assumed you have, X (predictor) and Y (target) for training data set and x_test(predictor) of test_dataset
# Create KNeighbors classifier object model 

KNeighborsClassifier(n_neighbors=6) # default value for n_neighbors is 5

# Train the model using the training sets and check score
model.fit(X, y)

#Predict Output
predicted= model.predict(x_test)

最后，在用KNN前你需要考虑到：

• KNN的计算成本很高
• 所有特征应该标准化数量级，否则数量级大的特征在计算距离上会有偏移。
• 在进行KNN前预处理数据，例如去除异常值，噪音等。