扩展欧几里得求解的个数

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扩展欧几里得定理
欧几里得定理
（未掌握的话请移步扩展欧几里得）

正题

设存在\(ax+by=gcd(a,b)\)，求x，y。
我们已经知道了用扩欧求解的方法是递归，终止条件是x==1，y==0；

int exgcd( int a, int b, int &x, int &y ) {
    if( b == 0 ) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int tmp = a % b;
    if( tmp > b ) swap( tmp, b );
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ans;
}

到b==0时，我们可以得到一组解：（1,0）。
接下来再逐步回带，求出所有可能的解。具体是为什么呢？

证明

已知：

• \(ax1+by1=gcd(a,b)\)
• \(bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)\)
• \(a mod b = a-a/b*b\)

可求得：
\(ax1+by1=bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)\)
即
\(ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2=gcd(a,b)\)
化简得
\(ax1+by1=bx2+ay2-a/b*b*y2=gcd(a,b)\)
所以可证出：
对于每一次递归中的x1y1，与上一次递归中的x2y2存在如下关系：
\(x1 = y2\)，\(y1 = x2 - a / b * y2\)

证明毕，
每次的x和y均存在递归关系，所以我们可以在求得一组解后回溯时回带求出其他解，此时计数即可。

P.S.

对于求方程正整数解的个数的题，需要注意特判
设ax+by=c，给定a，b，c，求x，y的正整数解个数

• x=0，y=0，z=0时，方程无数解
• x=0，y=0，z！=0时，方程无解
• x，y<0，z>0时方程无解，反之亦然