欧几里得， 扩展欧几里得 Gcd， Exgcd

欧几里得算法：（辗转相除法）

inline int Gcd(int a, int b)
{
    
    
    if (b == 0) return a;
    return Gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得：ax + by = gcd(a, b)
gcd（a, b） 是ax + by 的最小正整数解。

怎样求一个x和y满足这个解呢:

inline int Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
    
    if (b == 0) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = Ex_gcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;

    return d;
}

另一种写法：
inline int Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
    
    if (b == 0) {
    
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = Ex_gcd(b, a % b, x, y); 
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return d;
}

解释： Ex_gcd(b, a % b, x, y) = d;
x 和 y 是答案， 只是引用
将这个式子写成扩展欧几里得的形式：
bx + (a % b) y = d = gcd(b, a % b)
将式子拆开 ： a % b = a - floor(a / b) * b
bx + (a - floor(a / b) * b) * y = d
a y + b * (x - floor(a / b) * y) = d
则，现在的x和y变成了 y 和 (x - floor(a / b) * y)， 将其更新 ***** 第二种

**************************************************************************************************/
b y + (a % b) * x = d 跟上边类似
a * x + b * (y - floor(a / b) * x) = d
更新x， y ***************************** 第一种

扩展欧几里得的性质：解 x = x0 + b / gcd(a, b)
y = y0 - a / gcd(a, b)
看一看大佬的：https://blog.csdn.net/niiick/article/details/80119121