gcd和扩展欧几里得exgcd--zhengjun

$\gcd$

定义：求出两个数的最大公因数。

算法定律： $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

证明：

设 $\gcd(a,b)=k,a=t_1\times k,b=t_2\times k$

可知， $\gcd(t_1,t_2)=1$，如果还有一个 $t$，那么就可以说明 $a,b$还有一个公共素因数 $t$，与原意不符。

所以 $\gcd(t_2\times k,(t_1\times k)\bmod(t_2\times k))$

$=\gcd(t_2\times k,(t_1\bmod t_2)\times k)$

由于 $t_1,t_2$互质，所以 $t_2$和 $t_1\bmod t_2$互质，所以 $\gcd(t_2\times k,(t_1\bmod t_2)\times k)=k$，命题得证

代码

int gcd(int x,int y){
	if(!y)return x;
	return gcd(y,x%y);
}

扩展欧几里得,exgcd

定义：求出方程 $ax+by=c$的解

为了使原方程有解，则 $\gcd(a,b)|c$，( $c$能被 $\gcd(x,y)$整除)

证明：反正就是一个裴蜀定理，我就不说了。

然后，只要我求出方程 $ax+by=\gcd(a,b)$，就可以求出上面方程了。

当 $b=0$时， $x=1,y=0$

当 $b\ne0$时，因为 $ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=bx'+a\bmod b\times y'$

所以 $ax+by=bx'+a\bmod b\times y'=bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y'=bx'+ay'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b\times y'=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')$

所以，左右 $a,b$的系数对应得
$\left\{ \begin{aligned} x=y'\\ y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y' \end{aligned} \right.$
所以代码就是：

int x,y;
void exgcd(int a,int b,int x,int y){
	if(b==0){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}

谢谢–zhengjun