扩展欧几里得定理 exgcd

扩展欧几里得求形如 $ax + by = c$ 的方程。

$a x \equiv b(\bmod m) \iff a x+m y=b$

• 对于不为 $0$ 的整数 $a,b$，存在整数 $x,y$，使得 $ax + by = gcd(a,b)$。

• 方程 $ax + by = c$ 有解，当且仅当 $gcd(a,b)|c$。

特殊情况：对于 $ax + by = gcd(a,b)$，当 $b = 0$ 时，令 $x = 1, y = 0$ 即求得一组解。

一般情况：借鉴辗转相除法 $gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)$，假设已经求得了 $(b \bmod a) x_0+ay_0=gcd(a,b)$ 的一组解 $(x_0, y_0)$，方程可以根据 $a \bmod m=a-m\left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor$ 变形为

$(b-a\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor)x_0+ay_0=gcd(a,b)$

$\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor x_0 + ay_0 + bx_0 = gcd(a,b)$

$a(y_0-\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor x_0)+bx_0=gcd(a,b)$

交换 $x_0$ 与 $y_0$
$a(x_0-\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor y_0)+by_0=gcd(a,b)$

$\begin{cases} ax + by = gcd(a,b) \\ a(x_0-\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor y_0)+by_0=gcd(a,b) \end{cases} \iff \begin{cases} x=x_0-y_0\left \lfloor \frac{b}{a} \right \rfloor \\ y=y_0 \\ \end{cases}$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { 
    if (a == 0) {
        x = 0, y = 1;
        return b;
    }
    int d = exgcd(b % a, a, y, x);
    x -= b / a * y;
    return d;
}

如何求最小正整数解。假设我们求出了
$ax_0+by_0 = gcd(a,b)$
的一组解 $(x_0, y_0)$。有解的必要条件为 $gcd(a,b)|c$，所以令 $k = \frac{c}{gcd(a,b)}$。
$ax + by = c$

$ax + by = k \times gcd(a,b)$

$\begin{cases} a \frac{x}{k} + b \frac{y}{k} = gcd(a,b) \\ ax_0 + by_0 = gcd(a,b) \end{cases} \iff \begin{cases} x = k \times x_0 \\ y = k \times y_0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \frac{c}{gcd(a,b)} \times x_0 \\ y = \frac{c}{gcd(a,b)} \times y_0 \end{cases}$

$a \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times x_0 + b \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times y_0 = c$

为了求最小整数解，需要把上式的 $x_0$ 尽可能地减小，如果 $x_0$ 减小，对应的 $y_0$ 会增加。所以设 $x_0$ 减小了 $t_0$， $y_0$ 增加了 $t_1$。
$\begin{cases} x = x_0 \times \frac{c}{gcd(a,b)} - \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_0 \\ y = y_0 \times \frac{c}{gcd(a,b)} + \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_1 \end{cases} \\ \Downarrow \\ a \times x_0 \times \frac{c}{gcd(a,b)} - a \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_0 + b \times y_0 \times \frac{c}{gcd(a,b)} + b \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_1 = c\\ \because a \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times x_0 + b \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times y_0 = c \\ \therefore a \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_0 = b \times \frac{c}{gcd(a,b)} \times t_1 \\ \frac{t_0}{t_1} = \frac{b \times \frac{c}{gcd(a,b)}}{a \times \frac{c}{gcd(a,b)}} \\ \frac{t_0}{t_1} = \frac{b}{a}$

$a (x_0 - t_0) + b(y_0 + t_1) = c \iff a(x_0 - t_0) + b(y_0 +\frac{a}{b} \times t_0 )$

让 $t_0 = \frac{b}{gcd(a,b)}$，将 $x_0$ 减到不能再减为止，并考虑 $\frac{b}{gcd(a,b)} < 0$ 的情况需要加上模数再取模。总结公式为
$\begin{cases} x_{min}=(x_0 \bmod \frac{b}{gcd(a,b)} + \frac{b}{gcd(a,b)}) \bmod \frac{b}{gcd(a,b)} \\ y_{min} = \frac {c – a \times x_0}{b} \end{cases}$