扩展欧几里得 学习笔记（扩欧 || exgcd 入门）

什么是欧几里得算法？
简单点说， $(a,b)=(b,a$ $mod$ $b)$

• 什么是扩展欧几里得算法？

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算 $a$和 $b$两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数 $x$ $y$（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 $a$与 $b$, 必存在有整数 $x$ 与 $y$ 使得 $ax + by = (a,b)$。有两个数 $a,b$，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到 $ax+by=(a,b)$的整数解。

——————————————————————摘自百度百科

• 如何正确使用欧几里得算法(exgcd)
  好的， 进入正题了。
  题意：求方程 $ax+by=(a,b)$ $x,y$的整数解。
  不妨设 $a=bq+r$，根据小学的说法， $q$是商 ， $r$是余数，所以对于确定的 $a$和 $b$， $q$和 $r$的值是唯一的。
  我们把问题通过欧几里得算法转化，即从 $(a,b)$转化到了 $(b,r)$（ $r$为 $a$ $mod$ $b$），设求出方程 $bx+ry=(a,b)$的解为 $x=x_0,y=y_0$，考虑将它变形到原式。
  怎么变形呢？
  将刚才的 $a=bq+r$代入 $ax+by=(a,b)$，即为
  $x(bq+r)+by=(a,b)$
  去括号，得 $xbq+xr+by=(a,b)$
  把 $b$提出来，得 $b(xq+y)+xr=(a,b)$
  你发现了什么？
  还没发现？拿上面的式子对比一下：
  因为
  $bx_0+ry_0=(a,b),$
  $b(xq+y)+xr=(a,b)$
  所以
  $bx_0+ry_0=b(xq+y)+xr$
  $x=y_0,y=x_0-y_0q$
  递归即珂，边界条件 $(b,0)$的解为 $x=1,y=0$.

额，上面只是基础做法，下面还有

题意：给出 $a,b,c$，求方程 $ax+by=c$的所有整数解。
我们知道，只有在 $(a,b)|c$时，这个方程才会有整数解。

因为 $(a,b)|c$，所以不妨设 $k=\frac{c}{(a,b)}$，根据等式性质，得
$ax'k+by'k=(a,b)\times k$
得出一组解为 $x_1=x'k,y_1=y'k$
那么解集就出来拉！
{ $(x, y) | x=x_1+ l \times \frac{b}{(a,b)},y=y_1-l\times \frac{a}{(a,b)},l \in{\mathbb{Z}}$}

参照了几篇blog，在此感谢QwQ

好像一点也不易懂