1.欧几里得 求最大公约数,最小公倍数
(1)递归的写法:int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
(2)辗转相除法:
int gcd(int a,int b)
{
if(a<b) return gcd(b,a);
int r;
while(b) {r=a%b;a=b;b=r;}
return a;
}
(3)stein+欧几里得 快速求解大数的最大公约数
i64 stein(i64 a,i64 b)
{
if(a<b) return stein(b,a);
if(b==0) return a;
if((a&1)==0&&(b&1)==0) return 2*stein(a>>1,b>>1);//a and b are even
if((a&1)==0) return stein(a>>1,b); // only a is even
if((b&1)==0) return stein(a,b>>1); // only b is even
return stein((a+b)>>1,(a-b)>>1); // a and b are odd
}
最小公倍数: int lcm(int a,int b) {return a/gcd(a,b)*b;}
2.扩展欧几里得 求ax=b (mod m) ax+my=b 如果r=gcd(a,m)且b%r==0,则同余方程有解,其最小解为x*(b/r);
ax+by=c 如r=gcd(a,b),则存在x,y,使xa+yb=r;当x+=b,y-=a后仍然成立
因为xa+yb+ab-ab=r;==>(x+b)a+(y-a)b=r
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
int r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
扩展欧几里得算法
方程如下：
ax + by = gcd(a,b)(类似这样的方程)
现在我们假设 a > b,接下来就要有两种情况
1) 那么当b == 0的时候gcd(a,b)=a;
那么我们现在要解的这个方程就是
ax=a
==> x = 1, y = 0;
2)当b!=0的时候，我们可以设：
ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)‚
又因为：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
由‚所以我们可以得到：==>ax1+by1=bx2+(a%b)y2
那么现在a%b又可以写成a-floor(a/b)*b ---[这里面floor()是向下取整的意思]
==>ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2
==>x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b
我们现在让系数相等也就是a和b当作未知数
==> x1 = y2
==> y1 = x2-floor(a/b)*y2
那么我们就得到了扩展欧几里得的递归算法
方程a*x+b*y=c
有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0
扩展欧几里得（Exgcd模板）：
void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)//递归出口
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
int x1, y1;
Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);
x = y1;
y = x1-(a/b)*y1;
}
当然要先判断有没有解哦，有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0
例如求解6x+2y=6,
首先判断是否有解；
然后运行上面的代码，结果是x=0,y=1;
此结果为6x+2y=gcd(6,2)的解。
所以结果为x=0*3,y=1*3;(其中3为6/gcd(6,2))
3.逆元
例如给两个数，7,20。
因为7*3%20=1，则3就是7的逆元。一个数a与它逆元的乘积对b取余等于1。
求逆元的公式就是套一个模板，假如说我们求a关于b的逆元就是解这个方程：
a*x + b*y == 1，这个方程就可以直接求了。求出的x就是a关于b的逆元。
HDU 1576：A/B
要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。
InpuT
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。
OutpuT
对应每组数据输出(A/B)%9973。
Sample Input
2
1000 53
87 123456789
Sample Output
7922
6060
分析，我们要求的是(A/B)%9973，这个试子可以等价为( (a%9973)*_b )%9973，其中_b为B的逆元。可以看到a%9973正好就是题中所给的n。
所以题目就是求出B的逆元而已。
#include <iostream>
using namespace std;
void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)//递归出口
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
int x1, y1;
Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);
x = y1;
y = x1-(a/b)*y1;
}
int MOD(int &n,int &f)
{
return (n%9973)*(f%9973)%9973;
}
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
int n,B;
cin>>n>>B;
int x,y;
Ex_gcd(B,9973,x,y);
if (x<0)
x+=9973;
int f=x;
int result=MOD(n,f);
cout<<result<<endl;
}
return 0;
}
