欧几里得&&扩展欧几里得

欧几里得算法：

欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数

原理：辗转相除法求解最大公约数（公因子）

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数

r=a (mod b) ()为a除以b的余数，q为a除以b的商，即a÷b=q.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证明： a/b = q; a = q*b+r;

<1>当 r=0时，b为a与b的最大公约数

<2>当 r!=0时， 设a、b的最大公约数为c， a = m*c; b=n*c; (因为c为a、b的最大公约数，所以m,n互质)

r = a-q*b; r = (m*c)-q*b(n*c)=(m-q*b*n)*c，由此可知c也是r的约数，

所以我们可以继续b/r直到r为0，我们就得出a,b的最大公约数了

递归：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int a,b,ans;
    cin>>a>>b;
    ans = gcd(a,b);
    cout<<ans;
    return 0;
}

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优化：

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
    int a,b,ans;
    cin>>a>>b;
    ans = gcd(a,b);
    cout<<ans;
    return 0;
}

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扩展欧几里得算法：

扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

扩展欧几里得算法：求a*x+b*y=c的通解。

裴蜀定理：对于整数a,b，他们关于x,y的线性不定方程

证明：

. 设a*x+b*y=t,

<1>当b=0时，t=a（因为gcd算法，if(b==0) return a;），则有a*x=a，易得x=1.

<2>当b!=0时，设a*x1+b*y1=gcd(a,b),b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b),联立有：a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2。

a%b=a-(a/b)*b;(a/b向下取整）。

则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　 ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　 ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　 解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法，先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解。不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

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拓展欧几里得求逆元

PS: a ≡ b (mod m) 读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。 比如 26 ≡ 14 (mod 12)。

什么是逆元？

为什没求逆元跟欧几里得算法联系起来了呢？根据上面裴蜀定理，我们知道gcd是a,b两个数线性组合的最小值，其他组合值都是gcd的倍数，

当gcd为1时，a,b互质，满足

int cal(int a,int m)
{
    int x,y;
    int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
    //cout << "a " << a << " m " << m << " x " << x << " y " << y << endl;
    if(1%gcd!=0) return -1;
    x*=1/gcd;
    m = abs(m);
    int ans = x%m;
    if(ans<=0) ans += m;
    return ans;
}

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这里1%gcd是看gcd是不是1，前面说了，d（这里是1）应该是gcd的倍数，而且不互质的两个数没有逆元。