Codeforces 946D Timetable 动态规划

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题意

$Ivan$ 要上 $n$ 天的课，每天 $m$ 节课，一天的课表用一个长度为 $m$ 的 $01$ 字符串表示，$0$ 表示不用上课，$1$ 表示有课，$Ivan$ 需要从他上的第一节课开始待在学校，直到他上的最后一节课，但是他总共可以翘 $k$ 节课，问他最少的待在学校的时间可以是多少。

输入

第一行包含三个整数 $n,m,k~(1\leq n,m\leq500,0\leq k\leq500)$，接下去 $n$ 行每行为一个长度为 $m$ 的字符串，表示每天的课表。

输出

输出 $Ivan$ 待在学校的最少时间。

样例

输入
2 5 1 01001 10110
输出
5
提示
$Ivan$ 可以翘掉第一天的任意一节课，这样他第一天就可以只待在学校 $1$ 节课的时间，第二天待在学校 $4$ 四节课的时间。

输入
2 5 0 01001 10110
输出
8
提示
$Ivan$ 无法翘掉任何一节课，所以他每天都需要待在学校 $4$ 节课的时间。

题解

首先贪心 $O(nm)$ 预处理出第 $i$ 天翘掉 $j$ 节课能够待在学校的最少时间（每次翘课一定从第一节课往后面翘或者从最后一节课往前面翘）$Min[i][j]$，接着定义 $dp[i][j]$ 表示从第 $1$ 天到第 $i$ 天总共翘 $j$ 节课 $Ivan$ 需要待在学校的最少时间，对于到第 $i$ 天共翘掉 $j$ 节课，从 $0$ 到 $k$ 枚举前一天翘掉 $l$ 节课待在学校的最短时间 $dp[i-1][l]$，加上今天翘掉 $j-l$ 节课待在学校的最短时间 $Min[i][j-l]$，就是到第 $i$ 天翘掉 $j$ 节课待在学校的最短时间，于是有递推式：

$$dp[i][j]=\min(dp[i-1][l]+Min[i][j-l])$$ 最后注意一下递推时的边界条件，答案就是 $dp[n][k]$。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
using namespace std;

#define LL long long
const int maxn = 600;
const int INF = INT_MAX;
int n, m, k;
int Index[maxn];
char str[maxn][maxn];
int Min[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main() {
    #ifdef LOCAL
        freopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif // LOCAL
    ios::sync_with_stdio(false);

    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) != EOF) {
        memset(Min, 0, sizeof(Min));
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%s", str[i] + 1);
            int cnt = 0;
            for(int j = 1; j <= m; ++j) {
                if(str[i][j] == '1') {
                    Index[cnt++] = j;
                }
            }
            for(int j = 0; j < cnt; ++j) {
                Min[i][j] = INF;
                for(int kk = 0; kk + (cnt - j) - 1 < cnt; ++kk) {
                    Min[i][j] = min(Min[i][j], Index[kk + (cnt - j) - 1] - Index[kk] + 1);
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i <= k; ++i) {
            dp[0][i] = 0;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            for(int j = 0; j <= k; ++j) {
                for(int kk = 0; kk <= j; ++kk) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][kk] + Min[i][j - kk]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[n][k]);
    }

    return 0;
}