2018.7.31分治 （吴瑾昭）

简单分治

题目

T1：IOI2017练习赛mountain

找到最高点
选择最高点只能选一边
不选择最高点两边都能选（不冲突）

这种分治就是通过找一些关键点使得两边独立

T2：吃特色菜2

subtask1：显然可以找最小值（瞎jb搞）

subtask2：数据不随机？
每次找到区间终点
区间被分为左边右边以及过分治中心的区间
$min_i$表示第$i$位到$mid$中最小值，$max_i$表示第$i$为到分治中心的最大值
对于区间$[l,r]$,$min$就是$min(min_l,min_r)$,$max$就是$max(max_l,max_r)$

枚举$l$的位置，$r$增大时，$min$肯定单调不增，$max$单调不减
q表示q是第一个$max_q$>$max_l$
p表示p是第一个$min_p$<$max_p$
假设p < q
$i∈[md,p]$ $[l,i]= min_l*max_l$
$i∈[p,q]$ $[l,i] min_i*max_l$
$i∈[q,r]$ $[l,i] min_i*max_i$

维护p，q的位置以及前缀和等信息
就能做到O(1)统计答案

这种分治每次处理过分治中心的贡献
得满足可加性

T3：动态最大全1正方形

没有修改可以n^2dp

考虑分治
每次切长边，每次维护过切割线的矩形
每次在切割线上维护一个单调队列（我觉得是单调栈），任然是$O(n^2)$
我们考虑每次修改的点对答案的影响
实际上与修改的点在切割线两边的切割线答案肯定是不变的
有可能改变的只是与修改点同侧的切割线
那我们每次只用分治处理需要修改的那一部分
$O(knlogn)$

T4：ZJOI D2T2 tourist

离线所有询问
每次切长边
对于边上每个点跑一边迪杰斯特拉dijkstra
$O(S\sqrt S logS)$S表示当前分治的面积

树分治

题目

T1：质数长度路径统计

显然树分治
每个子树我们统计$cnt[i]$表示长度为i的路径条数
再统计$sum[i]$表示所有字数长度为i的路径条数
每棵树算的时候用sum计算之后再减去没个子树cnt的计算结果
这里我们还没考虑质数怎么处理，直接做会很慢

应为每次我们都要自己乘自己
上FFT，自己卷自己
$O(nlogn^2)$

T2：采药人的路径问题

给两种颜色分别赋权值1和-1
对每个子树统计g[i]表示和为i的路径条数
考虑前缀和的限制
我们加一维g[i][1..0]第二维表示路径上是否有前缀和为i的一条子路径
一颗颗子树合并即可
$O(nlogn)$

T3：紫荆花之恋

$d_u-R_u+d_v-R_v < 0$
令$a_i=d_u-R_u$
可以线段树直接统计

加点可能会破坏重心的性质
利用替罪羊树的思想
在点分治树上重构（重新点分治）
$O(nlogn^2)$

T4 cf

在dfs序上dp，$O(n^2)$

考虑生成函数
先只考虑一个子树内的生成树
对于一个点v
若为叶子$f_v=x+1$
若有一个孩子$f_v=f_u*x+1$
两个$f_v=f_u1*f_u2*x+1$
考虑把式子展开了看
假设$b_i = f_ai * x$
展开可以得到类似于$(((b_1b_2+1)*b3+1)*b4+1)*b5+1$
令$b_1b_2$为$b_1$,后面都减一
展开为$b_1b_2b_3b_4+b_2b_3b_4+b_3b_4+b_4$
也就是\sum_{i=1}^{}连城_{}^{}
这是可以分治fft（提出一些项，然后分开机选以及合并）
$O(nlogn^2)$

对整棵树树链剖分
肯定是一条从头到底的重链以及中间分出去的轻链
如果我们能知道轻链分出去的生成函数值
就可以算出根的生成函数值
我要算重链顶端是每个轻边的$\sum{size} * logn^2$
总复杂度$O(nlogn^3)$

T5：UNKOWN

点分治离线操作区间问题

可以对操作建立操作树
然后每次询问一条路径上叉积最大的
离线下来一起处理询问

因为凸包具有可加性
所以对于一个节点把两边的凸包合并起来求解即可
$O(nlogn^2)$

cdq分治

例题

T1：逆序对计数
跳过了

T2：
cdq分治优化dp
计算左边对右边的贡献
每个操作按照a排序，用树状数组维护

T3：百度地图实时路况
$O(n^4)$枚举删点做一次floyd

solve(l,r）表示l,r没更新的情况
分治下去即可
$O(n^3logn)$

T4:PACKAGE
也是一样的做法
$solve(l,r）$左右更新

T5：CASH
在线：
维护方程$F_i=max{F_j+a_ix_j+b_iy_j}$
每次加入一个点，维护凸包，每次在凸包上面二分
$O(nlogn)$
离线：
每次处理左边的对右边（可以看做询问）的影响
对于左边建立出凸包，对于右边每个点到左边凸包上二分
$O(nlogn^2）$
瓶颈在二分与排序
我们把询问按照斜率排序
在凸包上答案是单调的

对时间分治

一些性质（需要满足的条件）
基本做法

题目

T1：二维区间和
内部OJ上A过

把修改和询问拆成前缀后缀的相关运算
考虑左边操作对右边询问的影响
可以转化为二维偏序问题
$O(nlogn^2)$

线段树分治

在询问区间可拆解的情况下，把询问拆到线段树节点里
建立线段树过程中离线求答案

题目

T1：向量
这是之前那道点分治的题的弱化板
首先区间可拆解，对每个区间求个max再取max是可行的

按照线段树拆分区间
把每个区间做一个凸包
对于每个询问可以在凸包上二分

考虑复杂度
线段树向量个数是$O(nlogn)$建立凸包后$O(nlogn^2)$
二分找$O(Qlogn^2)$
考虑线段树的序列可以通过两个儿子序列归并起来
那么就可以快速建凸包$O(nlogn)$完成建树

对于询问我们可以把每个询问插到对应的区间
再按照斜率排序，然后对每个区间扫一遍
再把每个节点的操作通过ji排序？优化到$O(nlogn)$？

T2：踩气球
先把线段树建出来
对每个节点设一个0/1变量表示区间内气球是否全部踩爆
再把每个额孩子对应的区间丢到线段树里
那么一个孩子要高兴他在线段数对应的区间里都为1
每次修改只可能把一个叶子结点变为1
当一个节点从0变成1的时候，所有对应的孩子更新一下
$O(nlogn+mlogm)$

时间线段树

对时间分治的结构用线段树保存下来，离线处理

题目

T1：离线动态图
显然可以LCT在线维护
离线：
每条边存在的时间是一个区间
把每条边存在的时间丢到线段树里
dfs整个线段树，进入一个节点把所有边加入并查集
dfs到叶子结点后就是某一个时刻的图
这样的话就要删边
可撤销并查集（按秩合并）
$O(nlogn^2）$

T2：来不及

整体二分 来不及讲

陈老师二分

基本概念

题目

T1：tree
每次二分一个值v(可正可负)
每个黑边的权值都+v
求最小生成树
如果黑边个数$i<k$
说明v需要更大，反之更小
正确性显然

我们也可以用$(k,v_k）$表示k条黑边取v_k的最小生成树的值
会形成一个凸包
这是我们用第一个做法，也就是二分成立的前提

T2：林克卡特树
做法①（数据结构）
首先可以证明答案是凸的（显然）
当然由于这个性质也可以用网络流来做（不过点多爆了）
我们也可以通过网络流的可行性得到答案是凸的这个结论
考虑怎么用数据结构维护
实际上思想是模拟费用流来做
这题实际上有一个在序列上的弱化板
也就是找多少个区间
在序列上用线段树维护模拟反向边什么的过程
$O(nlogn)$
考虑搬到树上
用树剖维护$O(nlogn^2)$

做法②（dp）
显然的三维dp，在树上做背包（会T）
由于答案是有凸性的
我们可以用陈老师二分
仍然二分v，每次开始一条链都要花费v
$f_i,0..1$表示当前子树内有没有从下往上的链
每次考虑是否要开始搬一条链
这样是$O(nlogn)$