4分治

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4.0 开头

第一段

• 2.3.1中介绍了归排
  • 他用了分治
• 分治策略中：
  • 我们递归地求解一个问题
  • 每层递归中应用如下三个步骤：
  • Divide分解步骤将问题划分为一些子问题
    • 子问题形式与原问题一样，只是规模更小
  • (conqure)解决步骤递归地求解出子问题。
    • 如果子问题足够小，则停止递归，直接求解
  • 合并(Combine)将 子问题的解组合成原问题的解

第二段

• 子问题大时，需递归求解，称为递归情况。
  • 当子问题变小，不需递归时，说递归已触底，进入基本情况。
  • 有时，除了与原问题形式一样的更小的子问题外
  • 还需求解与原问题不完全一样的子问题
    • 将这些子问题看作合并步骤的一部分

第三段

• 本章中将看到更多基于分治策略的算法。
• 求解最大子数组问题
  • 输入一个数值数组
  • 需确定具有最大和的连续子数组
• 两个 $n\times n$矩阵乘法的分治算法
  • 一个运时 $\Theta(n^3)$，不优于平凡算法
  • 另一Strassen算法 运时 $\Theta(n^{2.81})$
    • 渐进时间复杂性击败平凡算法

递归式

• 递归式与分治方法是紧密相关的
• 使用递归式可以很自然地刻画分治算法的运行时间
• 如2.3.2节，用下面描述MERGE-SORT过程的最坏运行时间为 $T(n)$
  $T(n)=\left\{ \begin{aligned} \Theta(1) & 若n=1\\ 2T(n/2)+\Theta(n)& 若n\ge 2 \\ \end{aligned} \right. \tag{4.1}$
  $求得T(n)=\Theta(nlogn)$
• 递归式可以有很多形式
  • 如可将问题划分为2/3和 1/3
  • 如果分解和合并步骤都线性时间
  • 则有 $T(n)=T(2n/3)+T(n/3)+\Theta(n)$
• 子问题不必是原问题的一个固定比例。
  • 如线性查找的递归版本(练习2. 1-3)仅生成一个子问题，
  • 仅比原问题的规模少1
  • 每次递归调用将花费常量时间
    • 再加上下一层递归调用的时间，
  • 递归式为 $T(n)= T(n -1)+\Theta(1)$。

三种求解递归式的方法

• 介绍三种求解递归式方法，即得出算法的“ $\Theta$”或“ $O$”渐近界的方法:

• 代入法： 猜一个界，然后用数学归纳法证明这个界正确。

• 递归树法： 将递归式转为棵树，

  • 结点表示不同层次的递归调用产生的代价。
  • 然后用边界和技术来求解递归式。

• .主方法： 求下面公式的递归式的界:
  $T(n) = aT(n/b) + f(n)\tag{4.2}$

  • 它刻画了一个分治算法生成 $a$个子问题，
    • 子问题都是原问题的 $1/b$,
    • 分解和合并总共花费时间为f(n)
  • 为用主方法，要熟记三情况
    • 掌握此法， 确定很多简单递归式的渐近界就很easy。
  • 本章用主方法确定
    • 最大子数组和矩阵相乘的分治算法的运时
    • 书中其他用分治策略也用主方法分析
  • 有时也会遇到不等式的递推哦

递归式技术的细节

• 会略取向下取整，边界条件等

4.1 最大子数组问题

获得投化学公司

暴力求解方法

4.2 矩阵乘法的Strassen算法

4.3 用代入法求解递归式

4.4 用递归树方法求解递归式

4.5 用主方法求解递归式

4.6 证明主定理