【BZOJ3505/CQOI2014】数三角形

                                 3505: [Cqoi2014]数三角形

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76


数据范围
1<=m,n<=1000

 

解析：

       很明显是组合数，先求出C((n+1)*(m+1),3)，然后减去共线的情况就可以了。

       怎么求共线的情况呢？同行同列的情况容易求，主要是对角线上共线的问题，这里有一个结论：

       (a,b) (x,y)两点构成的线段上有gcd(a-x,b-y)-1个整点

       某大佬的解释：（如下图）

       如果视左上的黑点为(0, 0)右下黑点(6, -3)

       那么这条直线上的整点可以表示为(2n, -n)  （就是(6, -3)除以abs(gcd(6, -3))）

       那么两个黑点之间的点数为abs(gcd(6, -3)) - 1（其实就是算的最大的n，-1是去掉(6,-3)）

       直接令(a,b)=(0,0)，枚举(x,y)，其他位置可以通过平移得到，乘上平移能得到了数目。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int Max=1000010;
int n,m;
long long ans,c[Max][5];
 
inline void pre()
{
    c[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
    {
      c[i][0] = 1;
      for(int j=1;j<=3;j++) c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
    }
}
 
inline int gcd(int a,int b){return !b ? a : gcd(b,a%b);}
 
inline void solve()
{
    ans = c[n*m][3];
    ans -= n*c[m][3];
    ans -= m*c[n][3];
    for(int i=1;i<n;i++)
      for(int j=1;j<m;j++)
      {
        int num = gcd(i,j)-1;
        if(num > 0) ans -= 2*num*(n-i)*(m-j);
      }
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    n++,m++;
    pre();
     
    //cout<<c[9][3];
    //return 0;
     
    solve();
    cout<<ans<<"\n";
 
    return 0;
}