所谓不相邻的组合是指从A={1,2,3,…,n}A={1,2,3,…,n}中选取mm个不相邻的组合个数，即不存在两个数j和j+1的组合。例如，n=4,m=2n=4,m=2，有组合{1,3},{2,4},{1,4}{1,3},{2,4},{1,4}。
定理：从A={1,2,3,…,n}A={1,2,3,…,n}中取mm个不相邻组合，其组合数为Cmn−m+1Cn−m+1m。
证明：设B={b1,b2,…,bm}B={b1,b2,…,bm}是一组不相邻的组合，假设b1<b2<⋯<bmb1<b2<⋯<bm，令c1=b1,c2=b2−1,c3=b3−2,…,cm=bm−m+1≤n−m+1c1=b1,c2=b2−1,c3=b3−2,…,cm=bm−m+1≤n−m+1,则{c1,c2,…,cm}{c1,c2,…,cm}即为从11到n−m+1n−m+1中取mm个不允许重复的组合，其中0≤m≤n−r+10≤m≤n−r+1.
反之，令A¯={1,2,3,…,n−m+1}A¯={1,2,3,…,n−m+1}，从A¯A¯中取mm个不重复的组合{d1,d2,…,dm}{d1,d2,…,dm},其中 d1<d2<⋯<dmd1<d2<⋯<dm.假定
c1=d1,c2=d2+1,…,cm=dm+m−1≤n−m+1+(m−1)=nc1=d1,c2=d2+1,…,cm=dm+m−1≤n−m+1+(m−1)=n
则c1≤c2≤⋯≤cmc1≤c2≤⋯≤cm，而且
ci+1−ci=(di+1+i)−(di+i−1)=di+1−di+1>1ci+1−ci=(di+1+i)−(di+i−1)=di+1−di+1>1
故{c1,c2,…,cm}{c1,c2,…,cm}是从A={1,2,3…,n}A={1,2,3…,n}取的m个不相邻的组合。
参考文献：
组合数学（第四版） 卢开澄 卢华明 著