用O( )来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O表示法。
算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估,由于平均情况大多和最坏情况持平,而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧,因此一般情况下,我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等,因此我们可以将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶,那么如何推导出f(n)的值呢?我们接着来看推导大O阶的方法。
推导大O阶
推导大O阶,我们可以按照如下的规则来进行推导,得到的结果就是大O表示法:
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。
2.修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且系数不是1,则去除这个项的系数。
常数阶
先举了例子,如下所示。
int sum = 0,n = 100; //执行一次
sum = (1+n)*n/2; //执行一次
System.out.println (sum); //执行一次
- 1
- 2
- 3
上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3,根据推导大O阶的规则1,我们需要将常数3改为1,则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = (1+n)*n/2这条语句再执行10遍,因为这与问题大小n的值并没有关系,所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1),我们可以称之为常数阶。
线性阶
线性阶主要要分析循环结构的运行情况,如下所示。
for(int i=0;i<n;i++){
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}
- 1
- 2
- 3
- 4
上面算法循环体中的代码执行了n次,因此时间复杂度为O(n)。
对数阶
接着看如下代码:
int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//时间复杂度为O(1)的算法
...
}
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
可以看出上面的代码,随着number每次乘以2后,都会越来越接近n,当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X,则由2^x=n得出x=log₂n,因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。
平方阶
下面的代码是循环嵌套:
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;i++){
//复杂度为O(1)的算法
...
}
}
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n),现在经过外层循环n次,那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度:
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i;j<n;j++){
//复杂度为O(1)的算法
...
}
}
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
需要注意的是内循环中int j=i,而不是int j=0。当i=0时,内循环执行了n次;i=1时内循环执行了n-1次,当i=n-1时执行了1次,我们可以推算出总的执行次数为:
n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2
根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条:只保留最高阶,因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数,则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。
其他常见复杂度
除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶,还有如下时间复杂度:
f(n)=nlogn时,时间复杂度为O(nlogn),可以称为nlogn阶。
f(n)=n³时,时间复杂度为O(n³),可以称为立方阶。
f(n)=2ⁿ时,时间复杂度为O(2ⁿ),可以称为指数阶。
f(n)=n!时,时间复杂度为O(n!),可以称为阶乘阶。
f(n)=(√n时,时间复杂度为O(√n),可以称为平方根阶。
4.复杂度的比较
下面将算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级来列成一张表,根据这种表,我们来看看各种算法复杂度的差异。
n | logn | √n | nlogn | n² | 2ⁿ | n! |
---|---|---|---|---|---|---|
5 | 2 | 2 | 10 | 25 | 32 | 120 |
10 | 3 | 3 | 30 | 100 | 1024 | 3628800 |
50 | 5 | 7 | 250 | 2500 | 约10^15 | 约3.0*10^64 |
100 | 6 | 10 | 600 | 10000 | 约10^30 | 约9.3*10^157 |
1000 | 9 | 31 | 9000 | 1000 000 | 约10^300 | 约4.0*10^2567 |
从上表可以看出,O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增加,复杂度提升不大,因此这些复杂度属于效率高的算法,反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增加到50时,复杂度就突破十位数了,这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中,因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。
下面给出一个更加直观的图:
其中x轴代表n值,y轴代表T(n)值(时间复杂度)。T(n)值随着n的值的变化而变化,其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大,它们的T(n)值上升幅度非常大,而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大,T(n)值上升幅度则很小。
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是:
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)