求数组最大子段和

给定一个数组，求这个数组中最大连续子段和：

例如：

Input: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
Output: 6
Explanation: [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

（1）首先看到这个题我能想到的暴力破解，就是遍历数组，定义一个最大连续数组和，当前数组和大于则替换

时间复杂度为O(n^2)

//暴力破解O(n^2)
	public static int maxSubSum2(int[] a) {
		int maxSum=0;
		for(int i=0;i<a.length;i++) {
			int sum=0;
			for(int j=i;j<a.length;j++) {
				sum+=a[j];
				if(sum>maxSum) {
					maxSum=sum;
				}
			}
		}
		return maxSum;
	}

（2）接下来我们来优化，采用分治法来解决

将一个大问题，划分为两个小问题，2个小问题再划分，直至问题规模小的可以简单解决，那么数组的最大子数组和就分为三种情况：

右侧数组的最大子数组和
左侧数组的最大子数组和
左右两侧数组中间毗邻位置连接形成的子数组的和的最大值（如-6，4，-3，2####5，-6，9，-8，左侧最大值为4，右侧为9，中间毗邻位置从2和5向两侧相加，得到中间毗邻子数组4，-3，2，5，-6，9和为11，三者比较得最大子数组和为11）

递归到数组中只包含一个数字，进行ln(n)次划分，每次划分后进行n次比较，所以算法时间复杂度为n*ln(n),但是还达不到O(n)的要求

public static int maxSubSum3(int[] a) {
		return max(a,0,a.length-1);
	}
	public static int max(int[] arr,int leftIndex,int rightIndex) {
		int sum = 0,leftHalfMax=0,rightHalfMax=0;
		if(rightIndex-leftIndex==0) {
			return arr[leftIndex];
		}else {
			int center = (leftIndex+rightIndex)/2;
			int maxLeft = max(arr,leftIndex,center);
			int maxRight = max(arr,center+1,rightIndex);
		//以下是查找跨越中间点的最大子序列
			//从中间到左侧
			for(int i=center;i>=leftIndex;--i) {
				sum+=arr[i];
				if(sum>leftHalfMax) {
					leftHalfMax=sum;
				}
			}
			sum=0;
			//从中间到右侧
			for(int i=center+1;i<=rightIndex;++i) {
				sum+=arr[i];
				if(sum>rightHalfMax) {
					rightHalfMax=sum;
				}
			}
			return max(maxLeft,maxRight,leftHalfMax+rightHalfMax);
		}
	}
	public static int max(int a,int b,int c) {
		return a>b?(a>c?a:c):(b>c?b:c);
	}

上述是采用分治法解决的，时间复杂度为n*ln(n)

（3）接下来我们来使用减治法优化这个问题

假设我们当前已经知道一个最大子数组和，现在在该数组后面增加一个数字，新数组的最大子数组和可能是什么呢

原数组的最大数组和
新增加的数字为正数，和最右侧的子数组形成了一个最大子数组和

然后将这两个数字进行比较即可

public static long maxSubSum4(int[] arr) {
		if(arr==null||arr.length<0){
			return -1;
		}
		long maxSum = arr[0];//所有子数组中最大的和
		long rightEdge = arr[0];
		for(int i=1;i<arr.length;i++) {
			if(rightEdge<0) {
				rightEdge = arr[i];
			}else {
				rightEdge+=arr[i];
			}
			maxSum = getMax(rightEdge,maxSum);
		}
		return maxSum;
	}
	public static long getMax(long a,long b) {
		return a>b?a:b;
	}

这种方法的时间复杂度为O(n)

欢迎大家指正！

求数组最大子段和

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