矩阵的Jordan分解实例

矩阵的Jordan分解：标准型 + 变换矩阵

〇、题目

题目来自《计算机科学计算》第二版，编者张宏伟，金光日，施吉林，董波。书P86第12题。

求矩阵 $A= \left[\begin{array}{cccc} 4 & -1 & -1 & 0\\ 4 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \end{array}\right]$ 的Jordan分解。

一、求出其Jordan标准型

计算 $det(\lambda I - A) = \left|\begin{array}{cccc} \lambda - 4 & 1 & 1 & 0\\ -4 & \lambda & 2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda - 2 & 0\\ 0 & 0 & -6 & \lambda - 1\\ \end{array}\right|$。

解得特征值为 $\lambda _1 = 1$（一重代数重数）， $\lambda _2 = 2$（三重代数重数、阶数）。

计算 $rank(\lambda _2 I - A) = 2$，得到 $\lambda _2$的几何重数为2，即其Jordan块数为2，由于阶数为3，可以得到其两个Jordan块必然为 $1 + 2$的格式。
可得Jordan标准型为： $J= \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]$。

二、求其变换矩阵T

由定义 $A \cdot (T_1, T_2, T_3, T_4) = (T_1, T_2, T_3, T_4) \cdot J$

二、一、第一个特征值

以下求解，以上标表示块序号，下标表示块内序号。

对于 $\lambda _1 = 1$，求其线性无关的特征向量。
$A \cdot t^1 = \lambda _1 \cdot t^1$，解的一个向量为 $t^1 = (0, 0, 0, 1)^T$，由于其为一重几何重数，可以直接作为Jordan链首。

二、二、第二个特征值

同理，解方程 $(A - \lambda _2I) \cdot t^2 = 0$

$\left[\begin{array}{cccc} 2 & -1 & -1 & 0\\ 4 & -2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 1 \end{array}\right] \cdot t^2 = 0$

解得： $t^3_1 = t^2_1 = (1, 1, 1, 6)^T，t^3_2 = t^2_2 = (0, 0, 1, 6)^T$

前面已知 $\lambda _2 = 2$分为两块，一块阶数(链长)为1，一块阶数为2。
这里可以直接得到阶数为1得链首， $t^2 = (1, 1, 1, 6)^T$

对于链长为2的链，为了保证一定可以由链首推出第二环，即以下方程有解。 $(y为链首t^3_1，z为第二环t^3_2)$
$( A - \lambda _2 I ) \cdot z = y$

令 $y = k_1\cdot t^3_1 + k_2\cdot t^3_2 = (k_1 + k_2, 2k_1 - k_2, k_2, 6k_2)^T$

其有解的条件为 $r( A - \lambda _2 I ) = r( \space ( A - \lambda _2 I ) \space | y )$。

可求得 $k_2 = 0, k_1 = 1$，即 $y = (1, 2, 0, 0)^T$，代入原方程，可以得到 $z = (1, 1, 0, 0)^T$。

综合得到其变换矩阵为： $T= \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 0 & 0 \end{array}\right]$。

三、科学验算

使用在线计算器云算子，验证 $A = TJT^{-1}$。

验算正确，以下为其 $T^{-1}$ 值。

$T^{-1} =\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -6 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right]$