算法题 - 汉诺塔问题 - Python

问题描述：

汉诺塔问题

在汉诺塔传说，有三根柱子可以用大写字母A， B， C命名，其中只有A柱子摆放n片圆盘(1<=n<=64)，若要把A柱子上的所有圆盘转移到 C柱子上，问最少需要移动多少次圆盘？

移动圆盘的规则如下：

每次只能移动一片圆盘
任何情况下，大的圆盘必须摆放在小的圆盘之下

问题分析：

昨天baidu校招一面碰到的题目，问了其他同学，基本上一面都是以基础的数据结构题目为主，现在总结一下。问题估计是经典的不能在经典了，递归解决，这个题目对于递归的理解还是比较深刻。当时问了两个问题：1，是求出移动次数；2，输出每一步移动的情况。个人感觉对这类问题，重在理解。

递归解决，具体步骤如下：

（1）设 Hanoi(n, A, B, C) 表示，把A中的n个圆盘，通过中间媒介B，移动到C。现在思考如何分解Hanoi(n, A, B, C)：

要想把A中的n个圆盘，移动到C，一定会经过什么操作？
第一步：一定会先把A中上面的n-1圆盘移动到B，这个过程中C一定是中间媒介。
第二步：然后，把A中剩下的最大的一个圆盘（也就是最下面那个圆盘）移动到C。
第三步：最后，把B中所有的n-1过个圆盘移动到C，很显然，现在A一定是中间媒介。
通过上面三个步骤，可以依次类推，子问题又形成子问题，然后递归解决（切记，重在理解，不要死记）

（2）《数据结构教程第四版》中给出的C++代码如下：

void Hanoi(int n,char a,char b,char c)
{
	if (n==1) 
		printf("\t将第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,a,c);
    else 
	{
		Hanoi(n-1,a,c,b);  //对应着，第一步
		printf("\t将第%d个盘片从%c移动到%c\n",n,a,c);  //对应着，第二步
		Hanoi(n-1,b,a,c);  //对应着，第三步
	}
}

（3）当初始值A中有n个圆盘的时候，要移动多少次？结合上面的代码，不难推出：

当n = 1时： $Hanoi(n) = 1$
当n > 1时： $Hanoi(n) = 2 * Hanoi(n-1) + 1$

令 $f(n) = Hanoi(n)+1$ ，带入可得： $f(n)=2f(n-1)$ ，像什么？等比数列。进一步得：

$f(n)=2^n$ ，所以得出： $Hanoi(n) = 2^{n} - 1, n>0$

Python3实现：

# @Time   :2018/10/13
# @Author :LiuYinxing
# 递归


class Solution:
    def Hanoi(self, n, a, b, c):
        if n == 1:
            print('将第%d个盘片从%c移动到%c' % (n, a, c))
        else:
            self.Hanoi(n - 1, a, c, b)  # 把 a 中最上面 n-1 个圆盘移到 b，在 a 中剩下最大的哪一个
            
            print('将第%d个盘片从%c移动到%c' % (n, a, c))  # 把 a 中最大的那个移动到 c
            
            self.Hanoi(n - 1, b, a, c)  # 现在，把 b 中上的 n-1 个圆盘，移到 c 中


if __name__ == '__main__':
    solu = Solution()
    n = 4
    a, b, c = 'A', 'B', 'C'
    solu.Hanoi(n, a, b, c)

注意： n不应过大，从推导公式可以看出，n = 64时，需要的步数普通计算机已经跑不了了，别说我的古董笔记本了。

声明： 总结学习，有问题或不妥之处，可以批评指正哦。

推导参考：www.cnblogs.com/vsky/p/5014657.html