六、列向量和零向量
1、向量空间的进一步讨论
在第五节课我们已经知道，\(\mathbb{R}^3\)内任何过原点的直线或平面上的所有向量构成一个向量空间。
考虑一条过原点的直线上所有向量构成的向量空间\(L\)和一个过原点的平面上所有向量构成的向量空间\(P\)，如下图所示：
对于集合\(V=P\cup L\)而言，它不是一个向量空间，因为任取非零向量\(\alpha\in P,\beta\in L,\alpha+\beta\notin V\)，这在几何上看是非常直观的。
对于集合\(V=P\cap L\)而言，它是一个向量空间，因为任取非零向量\(\alpha\in (P\cap L),\beta\in (P\cap L)\),\(\alpha+\beta\in P,\alpha+\beta\in L\)，从而\(\alpha+\beta\in (P\cap L)\)
2、矩阵列空间的构造方法
考虑构造\(3\times 2\)矩阵\(A\)的列空间\(C(A)\)，或者说通过\(A\)的两个三维列向量构造\(\mathbb{R}^3\)的一个子空间\(C(A)\)，其中
\[A= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3\\ 4 & 1 \end{pmatrix}\]
\(C(A)\)为\(A\)的两个三维列向量通过所有的线性组合产生的向量构成的集合。
从几何角度看，这就是\(\mathbb{R}^3\)空间中，两个列向量所在的平面(显然该平面过原点)上的所有向量构成的集合。
如果这里的两个列向量是线性相关的，显然构造出来的列空间是过原点的一条直线上的所有向量构成的集合。
对于
\(Ax=b\)有解，当且仅当\(b\)是\(A\)的若干个列向量的线性组合，或者说\(b\)属于\(A\)的列空间
\(A\)的列空间\(C(A)\)的维度\(\mathrm{dim} C(A)\)=\(r(A)\)(\(A\)的列向量的秩)，