线性递推方程通解的特征根解法

线性递推数列的特征根解法

1.线性递推方程

简单的说，对于一个数列，设 $f(n)$为该数列的第n项，如果我们找到了一个递推式，使得f(n)可以表示为它前面的若干项的常系数一次多项式，则称它是一个线性递推数列。
如斐波那契数列： $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ 就是一个线性递推方程。
卡特兰数列： $f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-1-i)$就不是一个线性递推方程。
线性递推方程又可以分为齐次和非齐次两种。
齐次线性递推方程是指除了数列中的若干项的线性组合外，没有其他部分了。
如f(n)=f(n-1)+f(n-2)。这是一个齐次线性递推方程。
而如果还存在其他项且不为0，则是非齐次线性递推方程。
如果f(n)=f(n-1)+f(n-2)+C(n)，C(n)是一个非0的项，它可以是常数，也可以是关于n的一个函数。那么它就是非齐次线性递推方程。
如果线性递推方程中f(n)表示为其前k项的线性组合，则称它为k阶线性递推方程。

2.齐次线性递推方程的通解

我们发现，对于一个k阶齐次线性递推方程： $a_n=p_1a_{n-1}+p_2a_{n-2}+\dots+p_ka_{n-k} \tag{1}$，要想唯一的确定的该数列，必须给出k个初始值{ $a_0,a_1,\dots,a_{k-1}$}。如果不给出初始值，则可能会有许多的数列都符合这个递推式。这些数列可以称之为此递推式的通解。
我们发现等比数列比较符合这种齐次线性递推方程式。设公比为q，线性递推方程两边乘上公比，左边可以由 $a_n$转移到 $a_{n+1}$，等式仍然成立。我们大胆假设 $a_n=x^n,(x \neq 0)$,代入上述递推方程式，则有 $x^n=p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\dots+p_kx^{n-k} \tag{2}$
因为x不为0，所以两边除以 $x^{n-k}$,得到 $x^k=p_1x^{k-1}+p_2x^{k-2}+\dots+p_k \tag{3}$
考虑复根，这个方程有k个根.我们先假设没有重根。那么，这k个根都能使得(1)成立。
于是我们可以得到原k阶齐次线性递推方程(1)的k个数列，第i个数列即是一个公比为 $x_i$的等比数列。
根据乘法分配律，我们知道，如果 $\alpha$和 $\beta$是符合(1)的两个数列，则数列 $C_1\alpha+C_2\beta$也符合式(1)。所以，式(1)的k个解的任意线性组合也是式（1）的解。我们称这k个等比数列为式(1)的基底。于是我们可以知道式(1)的通解可以表示为以下形式：
$a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n+\dots+C_kx_k^n$
设线性递推方程的表示的数列的前k项值为{ $b_0,b_1,\dots,b_{k-1}$}，则有
$\left \{ \begin{array} {rcl} C_1x_1^0+C_2x_2^0+\dots+C_kx_k^0&=&b_0 \\ \\C_1x_1^1+C_2x_2^1+\dots+C_kx_k^1&=&b_1 \\ \\ \dots \\ \dots \\ \\ C_1x_1^{k-1}+C_2x_2^{k-1}+\dots+C_kx_k^{k-1}&=&b_{k-1}\end{array}\right.\tag{4}$

用矩阵表示为：
$\left( \begin{matrix} 1 & 1 &\dots & 1 \\ x_1^1 &x_2^1 & \dots &x_k^2 \\ \vdots & \vdots&\vdots &\vdots \\ x_1^{k-1} &x_2^{k-1} & \dots &x_k^{k-1} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} C_1 \\ C_2 \\ \vdots \\ C_k \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} b_0 \\b_1 \\ \vdots \\b_{k-1} \end{matrix} \right)$

其中第一个矩阵为著名的范德蒙德矩阵，它的行列式为
$\prod_{1\leq j < k \leq n}(x_k-x_j) \tag{5}$,因为没有重根，所以行列式值不为0。所以该矩阵有逆矩阵，方程(4)有解。
于是可以得到齐次线性递推方程的通解。
如果有重根，设重根为x1=x2，则方程在x1处的导数为0。
根据式(3)，得：
$kx^{k-1}-p_1(k-1)x^{k-2}+p_2(k-2)x^{k-3} +\dots+p_{k-1}=0 \tag{6}$
因为x不为0，两边再乘上x，得到：
$kx^k=p_1(k-1)x^{k-1}+p_2(k-2)x^{k-2}+\dots+p_{k-1}x+p_k*0*x^0 \tag{7}$
将(3)+(7)，然后再乘上x，则可得：
$(k+1)x^{k+1}=p_1kx^k+p_2(k-1)x^{k-1}+\dots+p_{k-1}2x^2+p_kx$
当x取x1时，等式成立。
由此可见, $nx_1^n构成的数列$也是线性递推方程的一个解。
于是通解 $a_n$可写为：
$a_n=(C_1+nC_2)x_1^n+C_3x_2^n+\dots+C_kx_{k-1}^n$

3.非齐次线性递推方程的通解

给出一个线性递推方程： $a_n+p_1a_{n-1}+p_2a_{n-2}+\dots+p_ka_{n-k}=f(n)\tag{8}$

若 $f(n)$不为0，则式(8)称为非齐次线性递推方程。 $f(n)$可以为常数，也可以为关于n的多项式，也可以为以n为指数的表达式。
对于这类方程，我们可以通过构造法，将它变成齐次线性递推方程。
构造 $t_n$满足: $t_n+p_1t_{n-1}+p_2t_{n-2}+\dots+p_kt_{n-k}=f(n)$
其中 $t_n$称为非线性递推方程的特解。

设 $b_n=a_n-t_n$.
则 $b_n$满足：
$b_n+p_1b_{n-1}+p_2b_{n-2}+\dots+p_kb_{n-k}=0 \tag{9}$
$b_n$可以通过齐次线性递推方程求解。
它是齐次线性递推方程的通解。于是 $a_n=b_n+t_n$，即非齐次线性递推方程的解可由齐次方程的通解和特解求得。
那如何求 $t_n$呢？
可以用待定系数法求出。
一般情况下，若f(n)为常数，则t_n也可以设为常数，若f(n)为n的m次多项式，则 $t_n$也可以设为n的m次多项式，若f(n)为指数形式，如 $f(n)=q^n$,则可以设 $t_n=rq^n$或 $t_n=rnq^n$的形式。然后用待定系数法解出。