数值分析-线性方程组的迭代解法

迭代法

对于AX = b

可将方程组进行改写

得到X = BX + f

迭代法就是通过设定初值X₀

然后通过X_k+1 = BX_k + f不断迭代

迭代一定次数后，X_n 可近似的看做方程组的解

迭代法的收敛性

　　设X*为方程组的准确解

　　ε_k = || X_k  - X* ||

　　可以看到ε_k+1 = B * ε_k

　　迭代法收敛的充要条件是B的谱半径<1

　　B的谱半径为B最小的那个特征值

收敛阶

　　收敛阶就是收敛速度

　　平均收敛速度为-ln || B^k ||^1/k

　　渐进收敛速度为 R(B) = -ln (ρ(B))

　　ρ(B)表示B的谱半径

　　

　　若要求|| ε_k || / || ε₀ || <= σ

　　那么k >= -ln(σ) / R(B)

不同的收敛法就是获取B的方式有所不同

雅克比迭代法

　　将矩阵A分为

　　D:对角线上的元素 

　　L:对角线之下的元素的相反数

　　U:对角线之上的元素的相反数

　　A = D - L - U

　　

　　DX_k+1 = (L + U)X_k + b

高斯-赛德尔迭代法

　　(D-L)X_k+1 = UX_k + b

　　高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进

　　减少了计算量