函数依赖理论

Armstrong定理（Armstrong's axiom）

自反律（reflexivity rule）：若 $\alpha$ 为一属性集且 $\beta \subseteq \alpha$ ，则 $\alpha \rightarrow \beta$ 成立
增补律（augmentation rule）：若 $\alpha \rightarrow \beta$ 成立且 $\gamma$ 为一属性集，则 $\gamma \alpha \rightarrow \gamma \beta$ 成立。
传递律（transitivity rule）：若 $\alpha \rightarrow \beta$ 和 $\beta \rightarrow \gamma$ 成立，则 $\alpha \rightarrow \gamma$ 成立。

另外的一些规则：

合并律（union rule）：若 $\alpha \rightarrow \beta$ 和 $\alpha \rightarrow \gamma$ 成立，则 $\alpha \rightarrow \beta\gamma$ 成立。
分解律（decomposition）：若 $\alpha \rightarrow \beta\gamma$ 成立，则 $\alpha \rightarrow \beta$ 和 $\alpha \rightarrow \gamma$ 成立。
伪传递律（pseudotransitivity rule）：若 $\alpha \rightarrow \beta$ 和 $\gamma \beta \rightarrow \delta$ 成立，则 $\alpha \gamma \rightarrow \delta$ 成立。

逻辑蕴含（logically imply）：如果函数依赖集 $F$ 能推出函数依赖 $f$ ，则称 $f$ 被 $F$ 逻辑蕴含。

函数依赖集的闭包（closure）：令 $F$ 为一个函数依赖集， $F$ 的闭包是被 $F$ 逻辑蕴含的所有函数依赖的集合，记作 $F^{+}$ 。

函数确定（functionally determine）：如果 $\alpha \rightarrow B$ ，我们称属性 $B$ 被 $\alpha$ 函数确定。

属性集的闭包：令 $\alpha$ 为一个属性集，我们将函数依赖集 $F$ 下被 $\alpha$ 函数是确定的所有属性的集合成为 $F$ 下 $\alpha$ 的闭包，记为 $\alpha^{+}$ 。

部分函数依赖（partial functional dependency）：如果 $X\rightarrow Y$ ，存在 $X^{'}$ 是 $X$ 的一个子集使，得 $X^{'}\rightarrow Y$ ，则称 $Y$ 部分依赖于 $X$ 。

完全函数依赖（Full functional dependency）：如果 $X\rightarrow Y$ ，不存在 $X^{'}$ 是 $X$ 的一个子集，使得 $X^{'}\rightarrow Y$ ，则称 $Y$ 完全依赖于 $X$ 。

传递函数依赖（transitive functional dependency）：如果 $X\rightarrow Y$ ， $Y\rightarrow Z$ ，则称 $Z$ 传递依赖于 $X$ 。

平凡的（trivial）函数依赖：如果 $Y\subseteq X$ ，则称 $X\rightarrow Y$ 这个函数依赖是平凡的。

无关属性（extraneous attribute）：如果去除函数依赖中的一个属性不改变该函数依赖集的闭包，则称该属性是无关的。

正则覆盖（canonical cover）： $F$ 的正则覆盖 $F_{c}$ 是一个依赖集，使得 $F$ 逻辑蕴含 $F_{c}$ 中的所有依赖，并且 $F_{c}$ 逻辑蕴含 $F$ 中的所有依赖。此外 $F_{c}$ 必须既有如下性质：

$F_{c}$ 中任何函数都不含无关属性。
$F_{c}$ 中函数依赖的左半部都是唯一的。

无损分解/无损连接分解（lossless decomposition）：

$R_{1}$ 和 $R_{2}$ 是 $R$ 的无损分解，当且仅当 $\prod R_{1}(R)\Join \prod R_{2}(R)=R$ 。
$R_{1}$ 和 $R_{2}$ 是 $R$ 的无损分解，当且仅当 $R_{1}\cap R_{2}$ 是 $R_{1}$ 或 $R_{2}$ 的超码。

有所分解/有损连接分解（lossy decomposition）:不是无损分解的分解成为有损分解。

限定（restriction）：令 $F$ 为模式 $R$ 上的一个函数依赖集， $R_{1}$ ， $R_{2}$ …… $R_{n}$ 为 $R$ 的一个分解。 $F$ 在 $R_{i}$ 上的限定是 $F^{+}$ 中所有只包含 $R_{i}$ 中属性的函数依赖的集合 $F_{i}$ 。