现代数字信号处理
Chapter2:维纳滤波卡尔曼滤波
2.3 信号的自相关序列
Rxx=0.8|m|,m=0,±1,±2,⋯
。观察信号:
x(n)=s(n)+v(n)
。其中
v(n)
为零均值方差为0.45的白噪声,
s(n),v(n)
统计独立。设计长度N=3的FIR滤波器
x(n)
。使其输出
s^(n)
与
s(n)
的差的均方差值最小。
解法:
(1).由
x(n)=s(n)+v(n)
推出
x(n+m)=s(n+m)+v(n+m)
x(n)⋅x(n+m)=[s(n)+v(n)]⋅[s(n+m)+v(n+m)]=s(n)⋅s(n+m)–––––––––––––––+v(n)⋅v(n+m)–––––––––––––––+s(n)⋅v(n+m)+v(n)⋅s(n+m)
其中下划线的表示自相关,所以也就是推出
Rxx(m)=Rss(m)+Rvv(m)+0=Rss(m)+0.45σ(m)=0.8|m|+0.45σ(m)
计算出:
Rxx(0)=1+0.45=1.45Rxx(1)=0.8Rxx(2)=0.64
计算标准方程互相关
P=R⋅h
推出
hopt=R−1⋅P
计算公式:
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Rsx(0)Rsx(1)⋮⋮Rsx(N−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Rxx(0)Rxx(1)⋮⋮Rxx(N−1)Rxx(1)Rxx(0)Rxx(1)⋮Rxx(N−2)⋯⋯⋯⋯⋯Rxx(N−1)Rxx(N−2)⋮⋮Rxx(0)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢h(0)h(1)⋮⋮h(N−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
其中,
P=Rsx(n)=E[s(n)x(n)]=Rss(n)+Rsv(n)=Rss(n)+0–––––––––––
∣∣∣∣∣Rxx(0)Rxx(1)Rxx(2)Rxx(1)Rxx(0)Rxx(1)Rxx(2)Rxx(1)Rxx(0)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣h(0)h(1)h(2)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣Rss(0)Rss(1)Rss(2)∣∣∣∣∣
WF & KF 计算
已知信号功率谱为
Sss(z)=0.36(1−0.8z−1)(1−0.8z)
,测量时,混入了加性噪声
v(n)
,及测量信号为
x(n)=s(n)+v(n)
。其中
v(n)
方差为1均值为0的白噪声,与
s(n)
不相关。设计一因果IIR WF对
x(n)
处理以得到最佳估计。
解法:
一、给出已知条件
Ssx(z),Sxx(z)
可以由以下几种方式得出:
隐含的关系:
Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)
和
Ssx(z)=Sss(z)+0
推导
给出
Rss(n)
和
Rvv(n)
求Z变换
信号模型:
s(n)=as(n−1)+w(n)–––––|a|<1,|c|<1
测量模型:
x(n)=cs(n)+v(n)–––––
w(n)
:白噪声,方差Q
v(n)
:测量白噪声,方差R
二、谱分解
求出
Sss(z),Ssx(z),Sxx(z)
的功率谱
Sss(z)=Q(1−az(−1))(1−az)Ssx(z)=Ss(cs+v)(z)=CSss(z)+Ssv(z)Sxx(z)=C2Sss+Svv(z)=c2Q(1−az(−1))(1−az)+R
根据谱分解定理:
Sxx=σ2εB(z)B(z−1)=σ2ε1−f⋅z−11−az−11−fz1−az|f|<1
解出
f
和
a
之后,求出
B(z)
和
B(z−1)
三、求因果部分
Ssx(z)B(z−1)=cQ(1−az(−1))(1−az)/1−fz1−az=A1−az−1+Bz1−fz
四、求
Hc(z)
求
Hc(z)
之前我们需要先求出
Ssx(z)B(z−1)
。也就是求出其中的因果部分。
得到
[Ssx(z)B(z−1)]+
之后,
Hc(z)=1σ2εB(z)[Ssx(z)B(z−1)]+
通过
Hc(z)反变换−→−−h(n)
。
五、计算最小均方差
ζmin(n)=12πj∫[Sss(z)−Hc(z)Ssx(z)]z−1dz
2-5 因果IIR WF计算
(1) 根据 a、c、R、Q,得:
Q=P−PRa2R+c2P
(2)求维纳增益:
G=CPR+c2P
(3) 滤波器系数:
f=a(1−cG)
(4)求
Hc(z)
的表达式:
Hc(z)=G1−fz−1
其中,a就是信号模型中的a,c就是测量模型,Q是
w(n)
的方差,R是
v(n)
的方法
互补维纳滤波器用于飞机盲目着陆系统:
飞机着陆时以较慢的恒定速度沿着一个无线电波速下降。为了自动对准跑道,通常需要为系统提供二个信号。
① 一个是由无线电波束提供的信号(它与飞机航向的滑离跑道方向的大小成比例),有飞机信号与高频噪声叠加
②另一个信号由飞机本身通过自身方位的测量得到,在下降过程中,由于风向的改变在信号中引入低频噪声
Chapter3 自适应滤波器
性能曲面:
ξ(n)=E[d2(n)]+WTRW−2PTW
性能曲面主轴:就是
R
的特征向量
- 先求特征值
(R−λI)Qn=0
。
- 利用
QQT=I
正交求出其值。
性能曲面沿主轴的二阶导数:就是特征值的2倍
例3 P43
已知:
R=∣∣∣3113∣∣∣P=∣∣∣25∣∣∣E[d2(n)]=10
(1)求出性能曲面表达式
(2)求最佳权矢量
(3)求性能曲面的主轴
(4)求性能曲面沿主轴的二阶导数
全矢量的计算公式:
迭代器形式:
W(n+1)=(I−2uR)W(n)+2uP
任意时刻的表达式:
W(n)=W∗+[I−2uR]n[W(0)−W∗]
或者
ξ(n)=ξmin+∑k=0L[v′k]2λk(1−2uλk)2n
。
chapter4 功率谱估计
取样自相关
R^xx(m)=1N∑n=0N−1−|m|x(n)x(n+m)|m|≤N−1
。
Yule-Walker方程
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪δ2k=R(0)+∑i=1kak,iR(i)Dk=∑i=0kak,iR(k+1−i),ak,0=1vk+1=Dkδ2kδ2k+1=(1−v2k+1)δ2kak+1,i=ak,i−vk+1⋅ak,k+1−i,i=1,2,⋯,k,k+1
AR模型的激励
Hc(z)=11+∑k=12ak⋅z−k
自相关值得估计与模型参数计算估计
例:已知
x(n)=(1,1,1,1,1)
,求
x(n)
的AR(2)模型参数
(1) 求出自相关函数
求出
R^(0)=1,R^(1)=0.8,R^(2)=0.6
方法一:
(1)、0接AR模型
δ20=R(0)
和
D0=R(1)
(2)、1阶AR模型
v1=D0δ20δ21=(1+v21)⋅δ20a1,i=a0,i−v1⋅a0,1−i,i=1,2,⋯,kD1=∑i=01a1,i⋅R(1+1−i),a1,0=1
(3)、二阶AR模型