数字信号处理之抽取

最近在看数字信号处理相关内容的论文时，有关抽取这个话题，很多论文都有涉及，作为数据降速的一种处理手段，可论文终归是论文，有的时候就不是让你看懂为目的的，让你看懂为目的的，是博客、教材等等，当然，有的论文也是很有态度的，把问题叙述的井井有条，甚至还有推导，让人感动。

本文摘选自《宽带复杂雷达信号模拟技术研究》中的抽取这一知识点，供参考。

这种框框里面的东西，是我的见解。

在信号处理过程中，很多时候由于前端的采样率过高，后端处理时，无法处理高速信号，或者受硬件条件的限制，无法处理这么高速率的数据，则此时就需要对信号进行重新采样，剔除不需要的点，等间隔的抽取数据，这就是抽取。抽取有整数倍抽取，也有有理数因子或任意因子抽取，这里只介绍整数倍抽取。

设有离散序列 $x[n]$ ，对其进行整数 M 倍抽取，M 也叫抽取因子，则抽取后的序列 $y[m ]$ 为：

$y[m]=x[Mn]$ 式（3-12）

这表示对离散序列每隔 $M-1$ 个数值保留一个采样点。整数倍的抽取框图如下：

设序列x[n]的周期为T，采样频率为 $f_{s}=1/T$ ，则经 M 倍抽取的序列 $y[m]$ 的采样周期为：

$T_M=MT$ 式（3-13）

采样频率为：

$f_{Ms}=1/T_M=1/MT=f_s/M$ 式（3-14）

显然，抽取后信号采样频率降低了 M 倍。实际上， $y[m]$ 可以看做是 x[n] 与周期为 M 的冲击序列 $\delta_M(n)$ 相乘的结果，周期序列可表示为：

设x[n]经过 $\delta_M(n)$ 采样后得到 v[n]，则有v[n]为：

令 m =kM，则可以化为式（3-12）的结果，即：

$y[m]=x[Mn]$

图3.3给出了抽取因子M为4的时域流程图：

下面从频域的角度进行分析，令 $F(e^{jw})$ 为 $\delta_{M}[n]$ 的频域函数，可以证明：

这里的 $w_{x}$ 是数字角频率，指的是在当前采样频率下，以当前采样时域为基准的信号角速度，后面提到的也是一样。

注：时域之间也是不同的哦，例如， y[m]所处的时域和v[n]所处的时域也是不同的哦，见上图，可见，y[m]和v[n]之间的不同，二者时域坐标轴是不同的，一个为m，一个为n。

x[n]经 $\delta_{M}[n]$ 采样后所得信号的频谱函数为：

注：这就相当于时域乘积，频域卷积。

将式（3-17）带入式（3-18）得：

频域卷积后的结果如上式，可以看成是x[n]的频谱的周期延拓。

因为 $T_M=MT$ ，则有：

模拟信号与离散信号之间的频率关系（由模拟信号采样得到的离散信号）

这篇博文讲了为什么 $w_x=2\pi fT$

然后上面的公式解释了 $w_x,w_y$ 之间的关系。

将式（3-20）带入式（3-19）可得：

这里让人觉得很难理解，从时域图上可以看出 $y[m]= v[Mm]$ ，这样的话，对两倍都进行DTFT，有：

$Y(e^{jw_y})=V(e^{jw_y/M})$ ，这样就得到了式（3_21），也就是：

这样的话， $Y(e^{jw_y})$ 就是 $V(e^{jw_y})$ 在频谱上扩展了。

图3.4中，以采样因子取4为例给出采样过程中频率的流程图：

由于抽取之前的采样率为 $f_s$ ，根据奈奎斯特采样定理可知，为使采样得到的数字序列能够无失真的恢复出原始信号，被采样信号的最高频率不能超过 $f_s/2$ 。经过抽取以后的采样频率 $f_{Ms}$ 仅为 $f_s$ 的1/M，这时的无模糊带宽为 $f_s/2M$ 。如果原始序列中有超过 $f_s/2M$ 的频率，那么经抽取以后就会发生频域的混叠，无法恢复出原始信号。为了避免混叠，可以先对进行抗混叠滤波，使的有效频率限制在 $f_s/2M$ 以内，等效为数字频率即 $\pi/M$ 以内。

抗混叠低通滤波器的理想频率响应为：

经过如上滤波器，保留原始信号中 $f_s/2M$ 以内的信号，从而可以避免抽取后频域混叠的现象，完整的抽取框图如下：

最后我提出一个疑问？就是上面红色部分的那句话，“为了避免混叠，可以先对进行抗混叠滤波，使的有效频率限制在 $f_s/2M$ 以内，等效为数字频率即 $\pi/M$ 以内。”这个 $f_s/2M$ 是如何化成 $\pi/M$ 的？

有谁能解释下的，可以告诉下我吗？

怀疑人生了。

数字信号处理之抽取

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