数字信号处理数学基础

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1. 泰勒级数
   $f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+{{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{f}^{''}}\left( {{x}_{0}} \right)}{2!}\left( x-{{x}_{0}} \right)^2+\cdots +\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( {{x}_{0}} \right)}{n!}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}+{{R}_{n}}\left( x \right)$
   其中 ${{R}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi \right)}{\left( n+1 \right)!}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n+1}}$

2. 复指数函数
   ${{e}^{z}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{z}{n} \right)}^{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}}{{z}^{i}}$

3. 欧拉公式
   ${{e}^{ix}}=\cos x+i\sin x$

4. 卷积
   离散： $y\left[ n \right]=x\left[ n \right]*h\left[ n \right]=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{x\left[ k \right]h\left[ n-k \right]}$
   连续： $y\left( t \right)=x\left( t \right)*h\left( t \right)=\int\nolimits_{\tau =-\infty }^{\infty }{x\left( \tau \right)h\left( t-\tau \right)}$

5. 连续傅里叶变换

6. 正变换： $X\left( w \right)={\mathcal{F}}\left[ x\left( t \right) \right]=\int_{-\infty }^{\infty }{x\left( t \right){{e}^{-jwt}}dt}$

7. 逆变换： $x\left( t \right)={{\mathcal{F}}^{-1}}\left[ X\left( w \right) \right]=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{X\left( w \right){{e}^{jwt}}dw}$

8. 典型函数的傅里叶变换
   门函数：
   $x\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}A,-\tau /2\le t\le \tau /2 \\0,\text{other } \\ \end{matrix} \right.\xrightarrow{\mathcal{F}}X\left( w \right)=A\tau\operatorname{Sa}\left( w\tau /2 \right)=A\tau\operatorname{sinc}\left( w\tau /2\pi \right)$
   冲激函数：
   $x\left( t \right)=\delta \left( t \right)\xrightarrow{\mathcal{F}}X\left( w \right)=1$
   周期函数：
   $x\left( t \right)=\sin \left( {{w}_{1}}t \right)\xrightarrow{\mathcal{F}}X\left( w \right)=j\pi \delta \left( w+{{w}_{1}} \right)-j\pi \delta \left( w-{{w}_{1}} \right)$
   $x\left( t \right)=\cos \left( {{w}_{1}}t \right)\xrightarrow{\mathcal{F}}X\left( w \right)=\pi \delta \left( w+{{w}_{1}} \right)+\pi \delta \left( w-{{w}_{1}} \right)$

9. 卷积定理
   时域： ${{x}_{1}}\left( t \right)*{{x}_{2}}\left( t \right)\xrightarrow{\mathcal{F}}{{X}_{1}}\left( w \right){{X}_{2}}\left( w \right)$
   频域： ${{x}_{1}}\left( t \right){{x}_{2}}\left( t \right)\xrightarrow{\mathcal{F}}\frac{1}{2\pi }{{X}_{1}}\left( w \right)*{{X}_{2}}\left( w \right)$

10. 离散傅里叶变换

11. 正变换： $X\left[ k \right]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{x\left[ n \right]{{e}^{-j\frac{2\pi }{N}kn}}},k=0,1,\cdots ,N-1$

12. 逆变换： $x\left[ n \right]=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1}{X\left[ k \right]{{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}}}$

13. 循环卷积： ${{x}_{1}}\left[ n \right]*{{x}_{2}}\left[ n \right]=\sum\limits_{m=0}^{N-1}{{{x}_{1}}\left[ m \right]{{x}_{2}}\left[ n-m \right]},n=0,1,\cdots ,N-1$
    其中 $n-m$的取值需要注意

14. 卷积定理
    ${{x}_{1}}\left[ n \right]*{{x}_{2}}\left[ n \right]\overset{\text{DFT}}{\longleftrightarrow}{{X}_{1}}\left[ k \right]{{X}_{2}}\left[ k \right]$

15. 高斯分布
    $p\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{{e}^{-{{\left( x-\bar{x} \right)}^{2}}/2{{\sigma }^{2}}}}$

16. 复数求导
    $\frac{\partial }{{\partial a}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{{\partial {a_I}}} - j\frac{\partial }{{\partial {a_Q}}}} \right), \frac{{\partial a}}{{\partial a}} = 1,\frac{{\partial {a^*}}}{{\partial a}} = 0$
    其中 $a = a_I + ja_Q$

17. 中心极限定理
    假设有n个独立同分布的随机变量 ${X_i } (i=1,2,\cdots ,n)$，均值为 $\bar{x}$，方差为 ${\sigma }^{2}$，构建一个新的随机变量: $Y=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{X}_{i}}-\bar{x}}{\sigma }}$，则当 $n \to \infty$时， $Y$服从标准正态分布，即 ${{p}_{Y}}\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{{e}^{-{{x}^{2}}/2}}$