时间序列ARIMA模型相关知识

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以下笔记内容来自于视频

数据平稳性

平稳性

• 要求经由样本时间序列所得到的拟合曲线在未来的一段时间内仍能顺着现有的形态“惯性”地延续下去
• 要求序列的均值和方差不发生明显变化

严平稳与弱平稳

• 严：分布不随时间的改变而改变
• 弱：期望与相关系数（依赖性）不变。未来某时刻的值依赖于其过去的信息

ARIMA

自回归模型AR

• 描述当前值与历史值之间的关系，用变量自身的历史时间数据对自身进行预测

• AR必须满足平稳性要求

• p阶自回归过程的公式定义，yt是当前值 mu是常数项 p是阶数 gamma是自相关系数 epsilon是误差
  $y_{t} = \mu + \sum_{i=1}^{p}\gamma _{i}y_{t-1}+\epsilon _{t}$

AR自身限制

• 使用自身数据来预测
• 必须具有平稳性
• 必须具有自相关，如果自相关系数小于0.5，则不宜采用
• 只适用于预测与自身前期相关的现象

移动平均模型 MA

• 关注的是AR中的误差项的累加

• q阶自回归过程的公式定义
  $y_{t} = \mu + \sum_{i=1}^{q}\theta _{i}\epsilon_{t-1}+\epsilon _{t}$

• 能有效消除预测中的随机波动

自回归移动平均模型 ARMA

• 自回归与移动平均的结合

• 公式
  $y_{t} = \mu + \sum_{i=1}^{p}\gamma _{i}y_{t-1}+\epsilon _{t}+\sum_{i=1}^{q}\theta _{i}\epsilon_{t-1}$

ARIMA

• ARIMA(p,d,q)全程差分自回归移动平均模型
• d是时间序列成为平稳时所做的差分次数
• 原理：将非平稳转化为平稳时间序列然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型

相关函数评估方法

自相关函数ACF

• 有序的随机变量序列与其自身相比较，ACF反映了同一序列在不同时序的取值之间的相关性

• 公式
  $ACF(k)=\rho _{k}=\frac{Cov(y_{t},y_{t-k})}{Var(y_{t})}$

• rho k的取值范围为[-1, 1]

偏自相关函数 PACF

• 对于一个平稳AR§模型，求出滞后k自相关系数p(k)时，实际上得到的并不是x(t)与x(t-k)之间单纯的相关关系
• x(t)同时还会受到中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、…、x(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和x(t-k)具有相关关系，所以自相关关系p(k)里实际掺杂了其他变量对x(t)与x(t-k)的影响
• 剔除了中间k-1个随机变量x(t-1)、x(t-2)、…、x(t-k+1)的干扰后，x(t-k)与x(t)影响的相关程度
• ACF还包含了其他变量的影响，而PACF是严格这两个变量之间的相关性

建立ARIMA模型

p，d，q阶数确定

模型	ACF	PACF
AR§	衰减趋于零	p阶后截尾
MA(q)	q阶后截尾	衰减趋于零
ARMA(p, q)	q阶后衰减趋于零	p阶后衰减趋于零

• 截尾：落在置信区间内（95%的点都符合该规则）

建模流程

• 将序列平稳（差分法确定d）
• p和q确定：ACF和PACF（也可画出散点图查看）
• ARIMA(p,d.q)

参数选择

AIC与BIC：越小越好

• k为模型参数个数， n为样本数量，L为似然函数

• AIC 赤池信息准则

  $AIC=2k-2ln(L)$

• BIC 贝叶斯信息准则
  $BIC=kln(n)-2ln(L)$

模型残差检验

• ARIMA模型的残差是否是平均值为0且方差为常数的正态分布
• QQ图：线性即正态分布