点的旋转（2）：四元数的推导

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前言

还记得上一节中我们怎么旋转一个二维向量的吗？
我们将其放入一个复平面中，通过乘子来旋转其所在的坐标系来得到结果
是的，跟2*3的例子一样，将该系下(1+0i)的位置变换至乘子r的位置，同时为了确保不会变形，我们限定乘子的模长为1（或者叫范数?随你啦），整个旋转看起来就像在圆的边上滑动。
下面让我们来看超复数：四元数，是如何推导的

推导

超复数

通过前一节，容易理解，我们旋转一个二维向量，做的工作仅仅只是把其坐标系的x轴上的1点旋转至乘子的位置
$X*(A+Bi)$
如果我们扩充到三维空间呢？
不过这次旋转的对象从X变成了(X*(A+Bi))，我们记 $P = X*(A+Bi)$

在前文 2* (-3)中，我们提到X轴旋转中划过的空间即是该维度（n=1维）的复空间（n+1维），是一个平面。

跟以前一样为了表示它的旋转，乘一个乘子 (C+Dj)，j 垂直于平面P，如同复数定义的那样 j^2 = -1
$P*(C+Dj)$
带回P
$(X*(A+Bi))*(C+Dj)$
化简：
$X*(AC+BCi + ADj +CDij)$
该式子表示单个轴——X的三维旋转
记
$a = AC，b = BC，c = AD，d = CD$
同时将 i×j 记为k
$k = ij$
k为同时垂直于i，j的一个轴
i，j，k此时构成一个右手系

我们得到两次乘子变换的一般形式
$(a+bi + cj +dk) .... ①$
并称其为四元数
四元数是最简单的超复数

如果交换两个乘子的顺序呢？

仅需将①i，j位置互换即可，同样我们写成一般形式
$(a+ci + bj +dji)$
因为
$ji = -ij = -k$
$(a+ci + bj -dk)....②$
此时②已经变成和①截然不同的怪物了，可见：旋转的顺序不同对应的结果完全不同

事实上，乘法的交换律是一种极其特殊的情况
在这里你可以停下来画一个空间坐标系，将一个点旋转两次，再将两次旋转顺序颠倒看看结果

它有什么性质?

跟复数一样
$i^2 = j^2 = k^2 = -1$
同时根据向量积
$ij = k$
$jk = i$
$ki = j$
$ik = -j$
$kj = -i$
$ji = -k$
$ijk = k×k = k^2 = -1$
至此，四元数的代数推导完毕，在后面我们将来了解四元数如何表达三维旋转。