问题描述：用逻辑回归根据学生的考试成绩来判断该学生是否可以入学
这里的训练数据(training instance)是学生的两次考试成绩，以及TA是否能够入学的决定（y=0表示成绩不合格，不予录取；y=1表示录取）
因此，需要根据trainging set 训练出一个classification model。然后，拿着这个classification model 来评估新学生能否入学。
训练数据的成绩样例如下：第一列表示第一次考试成绩，第二列表示第二次考试成绩，第三列表示入学结果（0--不能入学，1--可以入学）
34.62365962451697, 78.0246928153624, 0 30.28671076822607, 43.89499752400101, 0 35.84740876993872, 72.90219802708364, 0 60.18259938620976, 86.30855209546826, 1 .... .... ....
训练数据图形表示 如下：橫坐标是第一次考试的成绩，纵坐标是第二次考试的成绩，右上角的 + 表示允许入学，圆圈表示不允许入学。
该训练数据的图形 可以通过Octave plotData函数画出来,它调用Octave中的plot函数和find函数,实现如下：
function plotData(X, y) %PLOTDATA Plots the data points X and y into a new figure % PLOTDATA(x,y) plots the data points with + for the positive examples % and o for the negative examples. X is assumed to be a Mx2 matrix. % Create New Figure figure; hold on; % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Plot the positive and negative examples on a % 2D plot, using the option 'k+' for the positive % examples and 'ko' for the negative examples. % pos = find(y==1); neg = find(y==0); plot(X(pos, 1), X(pos, 2), 'k+', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 7); plot(X(neg, 1), X(neg, 2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 7); % ========================================================================= hold off; end
加载数据：
>> data = load('ex2data1.txt');
>> X = data(:, [1, 2]); y = data(:, 3);
加载完数据之后，执行以下代码（调用自定义的plotData函数），将图形画出来
>> plotData(X,y);
>> hold on
>> xlabel('Exam 1 score')
>> ylabel('Exam 2 score')
>> legend('Admitted', 'Not admitted')
图形画出来之后，对训练数据就有了一个大体的可视化的认识了。接下来就要实现 模型了，这里需要训练一个逻辑回归模型。
①sigmoid function
对于 logistic regression而言，它针对的是 classification problem。这里只讨论二分类问题，比如上面的“根据成绩入学”，结果只有两种：y==0时，成绩未合格，不予入学；y==1时，可入学。即，y的输出要么是0，要么是1
如果采用 linear regression（线性回归），它的假设函数是这样的：
假设函数的取值即可以远远大于1，也可以远远小于0，并且容易受到一些特殊样本的影响。比如在上图中，就只能约定：当假设函数大于等于0.5时；预测y==1，小于0.5时，预测y==0。
而如果引入了sigmoid function，就可以把假设函数的值域“约束”在[0, 1]之间。总之，引入sigmoid function，就能够更好的拟合分类问题中的数据，即从这个角度看：regression model 比 linear model 更合适 classification problem.
引入sigmoid后，假设函数如下：
sigmoid function 用octave实现如下：
function g = sigmoid(z) %SIGMOID Compute sigmoid function % g = SIGMOID(z) computes the sigmoid of z. % You need to return the following variables correctly g = zeros(size(z)); % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Compute the sigmoid of each value of z (z can be a matrix, % vector or scalar). g=1./(ones(size(z))+exp(-z));%实现sigmoid函数 % ============================================================= end
②模型的代价函数(cost function)
什么是代价函数呢？
把训练好的模型对新数据进行预测，那预测结果有好有坏。因此，就用cost function 来衡量预测的"准确性"。cost function越小，表示测的越准。这里的代价函数的本质是”最小二乘法“---ordinary least squares
代价函数的最原始的定义是下面的这个公式：可见，它是关于 theta 的函数。(X，y 是已知的，由training set 中的数据确定了)
那如何求解 cost function的参数 theta，从而确定J(theta)呢？有两种方法：一种是梯度下降算法(Gradient descent)，另一种是正规方程(Normal Equation)，本文只讨论Gradient descent。
而梯度下降算法，本质上是求导数(偏导数)，或者说是：方向导数。方向导数所代表的方向--梯度方向，下降得最快。
而我们知道，对于某些图形所代表的函数，它可能有很多个导数为0的点，这类函数称为非凸函数(non-convex function)；而某些函数，它只有一个全局唯一的导数为0的点，称为 convex function，比如下图：
convex function能够很好地让Gradient descent寻找全局最小值。而上图左边的non-convex就不太适用Gradient descent了。
就是因为上面这个原因，logistic regression 的 cost function被改写成了下面这个公式：
可以看出，引入log 函数（对数函数），让non-convex function 变成了 convex function
再精简一下cost function，其实它可以表示成
J(theta)可用向量表示成：
Octave代码如下：
J=（log（sigmoid(theta'*x')）+log(1-sigmoid(theta'*x’))*（1-y））*(-1/m);
③梯度下降算法
上面已经讲到梯度下降算法本质上是求偏导数，目标就是寻找theta，使得 cost function J(theta)最小。公式如下：
上面对theta(j)求偏导数，得到的值就是梯度j，记为：grad(j)
通过线性代数中的矩阵乘法以及向量的乘法规则，可以将梯度grad表示成向量的形式：
Octave中的实现如下：
grad =(X'*sigmoid(X*theta)-y);
需要注意的是：对于logistic regression，假设函数h(x)=g(z)，即它引入了sigmoid function.
最终，Octave中costfunction.m如下：
function [J, grad] = costFunction(theta, X, y) %COSTFUNCTION Compute cost and gradient for logistic regression % J = COSTFUNCTION(theta, X, y) computes the cost of using theta as the % parameter for logistic regression and the gradient of the cost % w.r.t. to the parameters. % Initialize some useful values m = length(y); % number of training examples % You need to return the following variables correctly J = 0; grad = zeros(size(theta)); % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta. % You should set J to the cost. % Compute the partial derivatives and set grad to the partial % derivatives of the cost w.r.t. each parameter in theta % % Note: grad should have the same dimensions as theta % J=（log（sigmoid(theta'*X')）+log(1-sigmoid(theta'*X’))*（1-y））*(-1/m); grad =(X'*sigmoid(X*theta)-y); % ============================================================= end
通过调用coustFunction函数，从而运行梯度下降算法找到使代价函数J(theta)最小化的 逻辑回归模型参数theta。调用costFunction函数的代码如下：
>> [m, n] = size(X);
>>
>> % Add intercept term to x and X_test
>> X = [ones(m, 1) X];
>> test_theta = [-24; 0.2; 0.2];
>> [cost, grad] = costFunction(test_theta, X, y);
>> cost
cost = 0.21833
>> options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
>>
>> % Run fminunc to obtain the optimal theta
>> % This function will return theta and the cost
>> [theta, cost] = ...
fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);
error: costFunction: operator *: nonconformant arguments (op1 is 1x5, op2 is 3x100)
error: called from
costFunction at line 23 column 3
@<anonymous> at line 4 column 14
fminunc at line 161 column 8
>> [theta, cost] = ...
fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), test_theta, options);
>> theta
theta =
-25.16126
0.20623
0.20147
>> plotDecisionBoundary(theta, X, y);
>> hold on;
>> % Labels and Legend
>> xlabel('Exam 1 score')theta
parse error:
syntax error
>>> xlabel('Exam 1 score')theta
^
>> ylabel('Exam 2 score')
>>
>> % Specified in plot order
>> legend('Admitted', 'Not admitted')
从上面代码的最后一行可以看出，我们是通过 fminunc 调用 costFunction函数，来求得 theta的，而不是自己使用 Gradient descent 在for 循环求导来计算 theta。for循环中求导计算theta.
既然已经通过Gradient descent算法求得了theta，将theta代入到假设函数中，就得到了 logistic regression model，用图形表示如下：
④模型的评估（Evaluating logistic regression）
那如何估计，求得的逻辑回归模型是好还是坏呢？预测效果怎么样？因此，就需要拿一组数据测试一下，测试代码如下：
>> prob = sigmoid([1 45 85] * theta);//%这是一组测试数据，第一次考试成绩为45，第二次成绩为85 >> prob prob = 0.77629
>> p = predict(theta, X);
>> mean(double(p == y)) * 100
ans = 89
那predict函数是如何实现的呢？predict.m 如下：
function p = predict(theta, X) %PREDICT Predict whether the label is 0 or 1 using learned logistic %regression parameters theta % p = PREDICT(theta, X) computes the predictions for X using a % threshold at 0.5 (i.e., if sigmoid(theta'*x) >= 0.5, predict 1) m = size(X, 1); % Number of training examples % You need to return the following variables correctly p = zeros(m, 1); % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Complete the following code to make predictions using % your learned logistic regression parameters. % You should set p to a vector of 0's and 1's % p = X*theta >= 0; % ========================================================================= end
非常简单，只有一行代码：p = X * theta >= 0，原理如下：
当h(x)>=0.5时，预测y==1，而h(x)>=0.5 等价于 z>=0
⑤逻辑回归的正则化（Regularized logistic regression）
为什么需要正则化？正则化就是为了解决过拟合问题(overfitting problem)。那什么又是过拟合问题呢？
一般而言，当模型的特征(feature variables)非常多，而训练的样本数目(training set)又比较少的时候，训练得到的假设函数(hypothesis function)能够非常好地匹配training set中的数据，此时的代价函数几乎为0。下图中最右边的那个模型 就是一个过拟合的模型。
所谓过拟合，从图形上看就是：假设函数曲线完美地通过中样本中的每一个点。也许有人会说：这不正是最完美的模型吗？它完美地匹配了traing set中的每一个样本呀！
过拟合模型不好的原因是：尽管它能完美匹配traing set中的每一个样本，但它不能很好地对未知的 (新样本实例)input instance 进行预测呀！通俗地讲，就是过拟合模型的预测能力差。
因此，正则化(regularization)就出马了。
前面提到，正是因为 feature variable非常多，导致 hypothesis function 的幂次很高，hypothesis function变得很复杂(弯弯曲曲的)，从而通过穿过每一个样本点(完美匹配每个样本)。如果添加一个"正则化项"，减少 高幂次的特征变量的影响，那 hypothesis function不就变得平滑了吗？
正如前面提到，梯度下降算法的目标是最小化cost function，而现在把 theta(3) 和 theta(4)的系数设置为1000，设得很大，求偏导数时，相应地得到的theta(3) 和 theta(4) 就都约等于0了。
更一般地，我们对每一个theta(j)，j>=1，进行正则化，就得到了一个如下的代价函数：其中的 lambda(λ)就称为正则化参数(regularization parameter)
从上面的J(theta)可以看出：如果lambda(λ)=0，则表示没有使用正则化；如果lambda(λ)过大，使得模型的各个参数都变得很小，导致h(x)=theta(0)，从而造成欠拟合；如果lambda(λ)很小，则未充分起到正则化的效果。因此，lambda(λ)的值要合适。
最后，我们来看一个实际的过拟合的示例，原始的训练数据如下图：
正则化的结果如下图所示：
Octave正则化代价函数的实现文件costFunctionReg.m如下：
function [J, grad] = costFunctionReg(theta, X, y, lambda) %COSTFUNCTIONREG Compute cost and gradient for logistic regression with regularization % J = COSTFUNCTIONREG(theta, X, y, lambda) computes the cost of using % theta as the parameter for regularized logistic regression and the % gradient of the cost w.r.t. to the parameters. % Initialize some useful values m = length(y); % number of training examples % You need to return the following variables correctly J = 0; grad = zeros(size(theta)); % ====================== YOUR CODE HERE ====================== % Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta. % You should set J to the cost. % Compute the partial derivatives and set grad to the partial % derivatives of the cost w.r.t. each parameter in theta J = ( log( sigmoid(theta'*X') ) * y + log( 1-sigmoid(theta'*X') ) * (1 - y) )/(-m) + (lambda / (2*m)) * ( ( theta( 2:length(theta) ) )' * theta(2:length(theta)) ); grad = ( X' * ( sigmoid(X*theta)-y ) )/m + ( lambda / m ) * ( [0; ones( length(theta) - 1 , 1 )].*theta ); % ============================================================= end
调用代码如下：
>> initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);
>>
>> % Set regularization parameter lambda to 1 (you should vary this)
>> lambda = 1;
>> lamdda=0;
>> lambda=1;
>> lambda
lambda = 1
>> lambda=0;
>> lambda
lambda = 0
>> options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
>>
>> % Optimize
>> [theta, J, exit_flag] = ...
fminunc(@(t)(costFunctionReg(t, X, y, lambda)), initial_theta, options);
>>
>> % Plot Boundary
>> plotDecisionBoundary(theta, X, y);
>> hold on;
>> title(sprintf('lambda = %g', lambda))
>>
>> % Labels and Legend
>> xlabel('Microchip Test 1')
>> ylabel('Microchip Test 2')
>>
>> legend('y = 1', 'y = 0', 'Decision boundary')
>> hold off;
>>
>> % Compute accuracy on our training set
>> p = predict(theta, X);
>>
>> fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);
Train Accuracy: 86.440678