【JZOJ1857】最大值【dp】

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题目大意：

题目链接：
JZOJ：https://jzoj.net/senior/#main/show/1857
学校局域网：http://10.156.31.134/contestnew.aspx?cid=91

求在 $1\sim m$中选出 $n$个（可重复）最长严格上升子序列为 $p+1$的方案数。

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思路：

由于 $T$比较大，考虑先预处理。
设 $f[i][j][k]$表示前 $i$个数字，第 $i$个数字为 $j$，最长上升子序列长度为 $k$的方案数。
显然需要枚举一个 $l$，表示第 $i-1$位选择的数字。
如果此次选择的数字是最长上升子序列的最后一位（也就是 $j$），那么第 $i-1$位就可能是 $1\sim j-1$的任意一位。所以有
$f[i][j][k]+=f[i-1][l][k-1]$
如果此次选择的数字不是最长上升子序列的最后一位，那么在 $1\sim i-1$中最大值也是 $j$，这次选择的数字是在 $1\sim j$中的任意一个数字，那么就有
$f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]\times j$
但是这样的时间复杂度是 $O(n^2k^2)$的。
考虑把枚举的 $l$去掉。
由于我们要求
$\sum^{j-1}_{l=1}f[i-1][k][k-1]$
所以我们可以考虑使用前缀和优化。
设 $g[i][j][k]=\sum^{j}_{l=1}f[i][j][k]$，那么第一条方程就变成了
$f[i][j][k]+=g[i-1][j-1][k-1]$
这样的时间复杂度就是 $O(n^2k)$的了。
接下来 $T$次询问，每次枚举一下最长上升子序列的最后一位是几，然后取最优输出即可。

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MOD=1e9+7,N=100,M=300;
ll f[N+10][M+10][N+10],g[N+10][M+10][N+10],ans;
int T,n,m,p;

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for (int i=1;i<=M;i++)
		f[1][i][1]=1,g[1][i][1]=i;
	for (int i=2;i<=N;i++)
		for (int j=1;j<=M;j++)
			for (int k=1;k<=i;k++)
			{
				f[i][j][k]=(g[i-1][j-1][k-1]+f[i-1][j][k]*(ll)j)%MOD;
				g[i][j][k]=(f[i][j][k]+g[i][j-1][k])%MOD;
			}
	while (T--)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
		ans=0;
		for (int i=p+1;i<=m;i++)
			ans=(ans+f[n][i][p+1])%MOD;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}