一些idea

\(n=0,n=1\)的时候显然成立

\(n\geq2\)时，假设\(n-1,n-2\)都成立，则：
\[ \sum_{i=k}^n\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\sum_{i=k}^{n-1}\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\sum_{i=k}^{n-1}\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\tbinom{n}{k+1}=\tbinom{n+1}{k+1} \]