【算法设计与分析】13 分治策略的设计思想

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算法中很多方法都是可以采用分治策略进行设计与优化，那么什么是分治策略？如何使用分治策略进行算法的设计与分析？

1. 分治策略的基本思想

• 分治策略（Divide and Conquer）

1. 将原始问题划分或归结为规模较小的子问题
2. 递归或者迭代的求解每个子问题
3. 将子问题的解综合得到原问题的解

在设计分治策略时，一定要注意以下几点：

1. 子问题与原问题的性质完全一样
2. 子问题之间可以彼此独立的求解
3. 递归停止时，子问题可以直接进行求解得出结果。

下面以二分检索的例子来分析分之策略的思想。

1.1 二分检索的设计思想

• 设算法：Binary Search(T，l，r，x)。
• 输入：排好序的数组T ，下标从l到r；数x。
• 输出：j //若x在T中，则为下标，否则为0

给出下面的伪码

二分检索的设计思想：

1. 通过x与数组的中位数进行比较，将原问题归结为规模减半的子问题。如果x小于中位数，则子问题由小于x的数构成，否则子问题由大于x的数构成。
2. 对子问题进行二分搜索算法
3. 当子问题为1时，直接比较T[m]与x，若相等则返回m，否则返回0.

二分检索最坏情况下时间复杂度分析，在前面的文章中已经学习了如何分析算法的时间复杂度，如果不懂下面的公式的，可以多看看前面的文章。

$W(n)= W(\lfloor n/2 \rfloor)+1$
$W(1) = 1$

可以解出：

$W(n) = \lfloor logn \rfloor +1$

1.2 二分归并排序的设计思想

• 设算法：Merge Sort(A,p,r)
• 输入：A[p…r]
• 输出：元素按从小到大排序额数组A

先看以下伪码：

二分归并的设计思想：

1. 将原问题划分为规模为n/2的两个子问题
2. 继续划分，将原问题归结为4个子问题，继续…当子问题估摸为1时，划分结束。
3. 从规模1到n/2，陆续归并被排好序的两个数组。每归并一次，数组规模扩大一倍，直到原始数组。

二分归并排序的时间复杂度：假设n为2的幂次方，二分归并排序最坏时间复杂度为：

$W(n) = 2W(n/2) + n-1$
$W(1) = 0$

可以解出：
$W(n) = nlogn - n + 1$

仔细体会着其中的分治策略

1.3 Hanoi塔的递归算法

Hanoi塔的算法设计思想：

1. 将原问题归结为规模为n-1的两个子问题
2. 继续归结，将原问题归结为n-2的四个子问题.继续… ，当子问题规模为1时，归约过程截止。
3. 从规模为1到n-1，陆续组合两个子问题的解，知道规模为n。

2 小结

1. 将原问题归约为规模较小的子问题，子问题与原问题性质完全一样
2. 子问题规模足够小时，可以直接求解
3. 算法可以递归也可以迭代实现
4. 算法的分析方法为：递推方程